Matematyka.pl

Niech X będzie zbiorem funkcji ciągłych na I=, niech \(\displaystyle{ \gamma(x)=e^{-L|x-x_0|}}\) będzie funkcją ciągłą i dodatnią na I. Niech dla \(\displaystyle{ y_1,y_2\in \mathrm{X}}\)
\(\displaystyle{ d(y_1,y_2)=max[e^{-L|x-x_0|}|y_2(x)-y_1(x)|]}\)
pokazać że d jest metryką.

Proszę o pomoc!

co to jest \(\displaystyle{ L}\)? Czy \(\displaystyle{ x, x_0 }\) ?

potrzebuję tego do dowodu Twierdzenia Picarda- Lindelofa. Dowód Twierdzenia zaczyna się w ten sposób:
Wproawdzmy przestrzeń \(\displaystyle{ C_I,_\gamma}\) funkcji ciągłych na przedziela I z funkcją \(\displaystyle{ \gamma}\), taką że \(\displaystyle{ \gamma(x)=e^{-L|x-x_0|}}\) i podaną w poście na początku metryką. Jak pokazać, że to jest metryka?

A już widzę ten dowód - L to pewna stała. Masz problem ze zrozumieniem dowodu czy starasz się go sama udowodnić?

Mam jeden dowód tego twierdzenia. Ale pewne rzeczy które są w nim opisane jako "oczywiste" albo coś "łatwo widać" to muszę pokazać że tak jest. Zgadza sie, L oznacza tam stałą, a ja muszę pokazać, że to co tam wyżej napisałam jest metryką.

1.
\(\displaystyle{ d(f,g)=0 \ \Longleftrightarrow \ \max_{x [a,b]} e^{-L|x-x_0|}|f(x)-g(x)|=0 \ \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow \ \max_{x [a,b]} |f(x)-g(x)|=0 \ \Longleftrightarrow \ f \equiv_{[a,b]} g}\)

2.
\(\displaystyle{ d(f,g)=\max_{x [a,b]} e^{-L|x-x_0|}|f(x)-g(x)|
=\max_{x [a,b]} e^{-L|x-x_0|}|(-1)(f(x)-g(x))|=\\=
\max_{x [a,b]} e^{-L|x-x_0|}|g(x)-f(x)|=d(g,f)}\)

3.
Niech:
\(\displaystyle{ X \ni x_1 : \ d(f,g)=\max_{x [a,b]} e^{-L|x-x_0|}|f(x)-g(x)|=e^{-L|x_1-x_0|}|f(x_1)-g(x_1)|}\)
Możemy wybrać takie \(\displaystyle{ x_1}\) ponieważ przedział \(\displaystyle{ [a,b]}\) jest domknięty.
Wtedy:
\(\displaystyle{ d(f,g)=e^{-L|x_1-x_0|}|f(x_1)-g(x_1)|=e^{-L|x_1-x_0|}|f(x_1)-h(x_1)+h(x_1)-g(x_1)| \\ e^{-L|x_1-x_0|}\left(|f(x_1)-h(x_1)|+|h(x_1)-g(x_1)|\right) =\\=
e^{-L|x_1-x_0|}|f(x_1)-h(x_1)|+e^{-L|x_1-x_0|}|h(x_1)-g(x_1)| \\
\max_{x [a,b]} e^{-L|x-x_0|}|f(x)-h(x)|+ \max_{x [a,b]} e^{-L|x-x_0|}|h(x)-g(x)| =\\= d(f,h)+d(h,g)}\)

Trochę późno - zapomniałem o tym poście. Mam nadzieję, że odpowiedź jeszcze się przyda.

Nie jest za późno Dziekuje bardzo za odpowiedź
ale mam jeszcze jedno pytanko, a mianowicie co dokładnie w pierwszym warunku oznacza to przystawanie i dlaczego tak to zapisałes? troche tego nie rozumiem

Oznacza, że f jest równe (tożsame z) g na przedziale [a,b].

wielkie dzięki