Matematyka.pl

1) Przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań układu

(a-3)x-4y = b
-9x+(a+2)y = 9

ze względu na parametr a i b.

2) Przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań układu nierówności ze względu na parametr k

x+y < k
y-x^2-1 >= 0

3) Znajdź wszystkie liczby całkowite ujemne spełniające układ nierówności:

(3x-2)/(x-4) >= 1
x^2 < 30

1.

Przekształcamy na równanie prostej

y=(a-3)/4 *x - b/4

y=9/(a+2) *x – 9/(a+2)

No i założenie a!=-2

Proste nie mają rozwiązań, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe, a wyrazy wolne są różne, więc

(a-3)/4=9/(a+2) i -b/4 !=-9/(a+2)

(a-3)(a+2)=9*4

a^2 – a – 6 = 36

a^2 – a – 42 = 0

a^2 – a +1/4 – 1/4 – 42 = 0

(a-1/2)^2 - 169/4 = 0

(a-1/2)^2 – (13/2)^2 = 0

(a-7) (a+6) = 0

a=7 lub a=-6

i jeszcze drugie równanie

-b/4 !=-9/(a+2)

b(a+2) !=36

b !=36/(a+2)

Jeżeli a=7 to b !=4

A jeżeli a=-6 to b !=-9

Czyli układ nie ma rozwiązań, gdy a=7 i b !=4 lub a=-6 i b !=-9


Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe i wyrazy wolne również

y=(a-3)/4 *x - b/4

y=9/(a+2) *x – 9/(a+2)

No i założenie a!=-2

Proste nie mają rozwiązań, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe, a wyrazy wolne są różne, więc

(a-3)/4=9/(a+2) i -b/4 =-9/(a+2)

(a-3)(a+2)=9*4

a^2 – a – 6 = 36

a^2 – a – 42 = 0

a^2 – a +1/4 – 1/4 – 42 = 0

(a-1/2)^2 - 169/4 = 0

(a-1/2)^2 – (13/2)^2 = 0

(a-7) (a+6) = 0

a=7 lub a=-6

i jeszcze drugie równanie

-b/4 =-9/(a+2)

b(a+2) =36

b =36/(a+2)

Jeżeli a=7 to b =4

A jeżeli a=-6 to b =-9

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy a=7 i b=4 lub a=-6 i b=-9

A jeśli a=-2 to

-5x-4y = b i -9x = 9

x = -1 i 5-4y = b

x = -1 i y = (5-b)/4

Czyli układ ma jedno rozwiązanie

Podsumowując

Układ ma jedno rozwiązanie, gdy a e R{-6, 7}, b e R

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy a=7 i b=4 lub a=-6 i b=-9

Układ nie ma rozwiązań, gdy a=7 i b !=4 lub a=-6 i b !=-9




3.
najpierw określmy dziedzine

x^20, aby to wyrażenie miało dodatni znak
3x>2 i x>4
x>2/3 i x>4
x e (4; +inf)
lub

3x-2

2)
uklad przeksztalcamy
(i) y

Dziękuję