Matematyka.pl

Witam
Prosiłbym o pomoc przy odnalezieniu błędu w moich obliczeniach:
\(\displaystyle{ \int \frac{tgx}{ cos^{2}x }}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{sinx}{ cos^{3}x }}\)
\(\displaystyle{ t=cosx}\)
\(\displaystyle{ dt=-sinx}\)
\(\displaystyle{ -\int \frac{dt}{ t^{3}}}\)
\(\displaystyle{ -\int \ t^{-3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ t^{-2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} t^{2}}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2cos^{2}x}}\)

Niestety mój wynik nie zgadza się z tym, podanym w książce.

Z góry dziękuje za pomoc.

masz błąd (przypuszczam, że tylko sie pomyliłeś przy przepisywaniu, bo potem jest OK) przy przejściu z \(\displaystyle{ \frac{t^{-2}}{2} \frac{1}{2}t^2}\), ale wynik masz prawidłowy - błąd jest w książce.

A co Ci się nie zgadza ? Brakuje tylko stałej całkowania C
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\cos^2{x}}+C}\)
By przekonać się o poprawności wyniku (lub niepoprawności) należy obliczyć pochodną z otrzymanego wyniku. i sprawdzić czy zgadza się z funkcją podcałkową.
W tym przypadku pochodna \(\displaystyle{ (\frac{1}{2\cos^2{x}}+C)'=\frac{\sin{x}}{\cos^{3}{x}}}\)
czyli daje nam funkcję podcałkową.

Fakt zapomniałem o tym, że można to w łatwy sposób sprawdzić.
Dzienki.

A nie prościej \(\displaystyle{ t=tgx}\) masz od razu \(\displaystyle{ tdt}\) ?