Matematyka.pl

Witam !

Jak obliczyć granice następujących ciągów dla \(\displaystyle{ n\to\infty}\):

\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{2\cdot4}+\frac{1}{3\cdot5}+\ldots+\frac{1}{n(n+2)}}\)
\(\displaystyle{ b_{n}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}\)
\(\displaystyle{ c_{n}=\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\frac{3}{n^2+3}+\frac{4}{n^2+4}+\ldots+\frac{n}{n^2+n}}\)
\(\displaystyle{ d_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}\bigg(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\bigg)}\)


Może chociaż ktoś wie jak obliczyć granice dla pierwszych dwóch? Bo te dwa ostatnie to już w ogóle nie wiem jak...


Pozdrawiam.

jeśli znasz wzór na sumę ciągu arytmetycznego to go wykorzystaj. ten wyraz na końcu to oczywiście \(\displaystyle{ a_{n}}\)jak będziesz mieć już taką postać to pewnie wiesz jak dalej.

? jaki ciag arytmetyczny? co Ty pleciesz...

podpowiedz do ostatniego: podziel i pomnoz kazdy skladnik sumy przez mianownik ze zmienionym znakiem

oraz podpowiedz do pierwszego: zauwaz ze \(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2} ( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})}\)

zauwaz ze
\(\displaystyle{ \frac{1}{k(k+1)(k+2)} =
\frac{1}{k+1} - \frac{1}{2k} - \frac{1}{2k+4} \\
\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k} \\}\)

chodziło mi o ciąg geometryczny. przepraszam za pomyłkę.

ok, ale geometrycznego tez tam nie ma;d

Nie wiem jak się zabrać za to trzecie. Do czwartego też przydałyby się jakieś wskazówki...

spojrz :

\(\displaystyle{ d_n=\frac{1}{\sqrt{n}} ( \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} +...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}})}\)

kazdy skladnik sumy czyli dla kazdego \(\displaystyle{ k=1,...,n}\) mnozymi i dzielimy jednoczescie przez roznice tych pierwiastkow, czyli tak naprawde mnozymi przez jeden:

\(\displaystyle{ f_k=\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})}}\)

z takiego wzorku \(\displaystyle{ (a-b)(a+b)=a^b^2}\) mamy ze

\(\displaystyle{ f_k=\frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{k-(k+1)}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}\)

czyli jak sobie zsumujemy takie \(\displaystyle{ f_k}\) to dostaniemy nasz ciag czyli:

\(\displaystyle{ d_n=\frac{1}{\sqrt{n}}(\sqrt{2}-1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} +\sqrt{4}-\sqrt{3} +...+\sqrt{n-1}-\sqrt{n-2}+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}\)

no i widac ze nam sie ladnie redukuje, zostaje tylko

\(\displaystyle{ d_n=\frac{1}{\sqrt{n}} ( 1+ \sqrt{n+1})}\) a granice takiego ciagu juz chyba umiesz, co nie;d , moglem sie gdzies walnac w liczeniu ale zarys postepowania jest dobry

Mapedd pisze: \(\displaystyle{ d_n=\frac{1}{\sqrt{n}}(\sqrt{2}-1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} +\sqrt{4}-\sqrt{3} +...+\sqrt{n-1}-\sqrt{n-2}+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}\)

\(\displaystyle{ d_n=\frac{1}{\sqrt{n}} ( 1+ \sqrt{n+1})}\)

Masz błąd tutaj, przy jedynce powinien być minus:

\(\displaystyle{ d_n=\frac{1}{\sqrt{n}} ( \sqrt{n+1} - 1)}\)