Matematyka.pl

Dany jest ciąg liczbowy: \(\displaystyle{ a_{n}=(3n-4)(n-1)}\). Na podstawie definicji zbadaj jego monotoniczność.
a) Wiedząc, że iloraztrzeciego i drugiego wyrazu ciagu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) oraz piaty zmniejszony o cztery są równe odpowiednio: piątemu i drugiemu wyrazowi nieskończonego ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ (b_{n})}\), oblicz sume jego wszystkich wyrazów.
b) Dla jakich wartości n \(\displaystyle{ (4b_{n+2},b_{n+1}+2,b_{n}-6)}\) sa trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego \(\displaystyle{ (c_{n})}\). Ile co najmniej początkowych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (c_{n})}\) nalezy dodać aby suma ta nie była mniejsza od 840?
c) Czy liczby: \(\displaystyle{ \sqrt{27},\sqrt{11},\sqrt{7}}\) mogą być niekoniecznie kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego lub geometrycznego?
prosze pomozcie musze to zrobic a mi wychodza jakies glupie liczby

Nie obrazisz sie ze uzyje metody reducto ad absurdum ?
Jeżeli te liczby byłby pewnymi wyrazami ciągu geometrycznego to spełnione były by równośc. Przy czym zakładam,że nasz ciąg jest rosnący \(\displaystyle{ \sqrt{7}+kr=\sqrt{11}}\), \(\displaystyle{ \sqrt{11}+lr=\sqrt{27}}\) , \(\displaystyle{ \sqrt{7}+nr=\sqrt{27}}\) Oczywiście k,n,l są całkowite i różne od 0 z przyczyn oczywistych. Z pierwszej równości dostajemy:\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{11}-\sqrt{7}}{k}=r}\) Podstawiajac do drugiego równania dostajemy:

\(\displaystyle{ \sqrt{11}+\frac{l}{k}(\sqrt{11}-\sqrt{7})=sqrt{27}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{l}{k}=\frac{sqrt{27}-sqrt{11}}{sqrt{11}-sqrt{7}}}\)

Po uproszczeniu \(\displaystyle{ \frac{l}{k}=\frac{sqrt{297}+sqrt{189}-11+sqrt{77}}{4}}\)
Czyli mamy sprzeczność !!. Ustalilismy że l i k są całkowite więc ich iloraz jest liczba wymierną a liczba po prawej jest niewątpliwie niewymierna!. Więc już teraz mozna wywnioskować , że to nie mogą być wyrazy ciągu arytmetycznego
P.S
Przypuszczam ze z geom. robi sie identycznie

prosze ale o calkowite rozwiazanie tego zadania a przynajmniej o wyniki i rozpisanie podpunktu b to bardzo wazne dla mnie z gory dziekuje

z definicji liczysz monotoniczność tak:
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=(3n-1)n-(3n-4)(n-1)=6n-4}\) co jest większe dla każdego n naturalnego-z tego wynika że cg jest rosnący
a)obliczasz
\(\displaystyle{ b_{5}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=10\\ b_{2}=40}\)
teraz rozwiązujesz układ:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}b_{1}\cdot q=40\\ b_{1}\cdot q^{4}=5 \end{array}}\)
wychodz Ci \(\displaystyle{ b_{1}=80 \quad q=\frac{1}{2}}\)
sumę ze wzorku \(\displaystyle{ S=\frac{b_{1}}{1-q}=160}\)
b) ciąg jest arytmetyczny kiedy \(\displaystyle{ 2\cdot (b_{n+1}+2)=4\cdot b_{n+2}+b_{n}-6}\)
wyznaczasz wszystkie b-eny i masz łądne równanko: \(\displaystyle{ \frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^{n-1}}\) co jak łatwo rozwiązać daje nam n=4
dalszej części nie rozwiążesz bo nie wiesz ile wynosi \(\displaystyle{ c_{1}}\)-możesz obliczyć tylko r...