Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to } ({\frac{ax+b}{cx+d})}^{\alpha x+\beta}}\)

Chodzi głównie o założenia.

Już któryś raz z rzędu piszesz ten post. Bardziej ogólnego wzoru nie możesz wymyślić? Po pierwsze warunki konieczne:
\(\displaystyle{ cx+d \ne 0}\)
No i teraz:
- gdy \(\displaystyle{ \alpha=0}\) to granicą jest \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{c} \right)^{\beta}}\) (i założenie, że \(\displaystyle{ c \ne 0}\), bo inaczej jest to \(\displaystyle{ \infty}\), chyba, że \(\displaystyle{ a=0}\) - zresztą myślę, że jak się postarasz to sam sobie wypiszesz te wszystkie przypadki)

- gdy \(\displaystyle{ \alpha \ne 0}\)
No i tutaj się zaczna (pomijam już założenia na wartość +/- zależną od parametrów):
\(\displaystyle{ a>c \ \wedge \ \beta>0 \ \lim=\infty \\
a0 \ \Rightarrow \lim=0 \\
a>c \ \ \beta \lim=0 \\
a \ \beta \lim=\infty \\}\)
Teraz pewnie to, co Cię najbardziej interesuje (założenia dorób sobie sam, liczę tak jakby były):
\(\displaystyle{ a=c \\
\frac{ax+b}{ax+d}=1+\frac{1}{\frac{ax+d}{b-d}} \\
\lim_{x \to } ft(1+\frac{1}{\frac{ax+d}{b-d}}\right)^{\alpha x + \beta} =
\lim_{x \to } ft(1+\frac{1}{\frac{ax+d}{b-d}}\right)^{\frac{ax+d}{b-d} \frac{(b-d) }{a} - \frac{d\alpha}{a} + \beta } =\\=
\lim_{x \to } ft(\left(1+\frac{1}{\frac{ax+d}{b-d}}\right)^{\frac{ax+d}{b-d}}\right)^{ \frac{(b-d) }{a}} ft(1+\frac{1}{\frac{ax+d}{b-d}}\right)^{\beta - \frac{d\alpha}{a}} = e^{\frac{(b-d)\alpha}{a}} 1 = e^{\frac{(b-d)\alpha}{a}}}\)