Matematyka.pl

1) Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ c R_{+}-{1}}\), \(\displaystyle{ a,b R_{+}}\) i \(\displaystyle{ a^2+b^2+7ab}\), to \(\displaystyle{ \log_{c}{\frac{a+b}{3}}=\frac{1}{2}(\log_{c}a+\log_{c}b)}\).

I teraz moje wnioski.

\(\displaystyle{ a^2+b^2=7ab}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2+2ab-9ab=0}\)
\(\displaystyle{ (a+b+3\sqrt{ab})(a+b-3\sqrt{ab})=0}\)

Rozwiązaniej nas interesującym będzie \(\displaystyle{ \sqrt{ab}=\frac{a+b}{3}}\)

Prawą stronę równanie rozpisujemy następująco:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(\log_{c}a+\log_{c}b)=\frac{1}{2}(log_{c}{ab})=log_{c}{\sqrt{ab}=\log_{c}{\frac{a+b}{3}}}\)

Czy gdzieś po drodzę się nie pomyliłem? Czy wystarczy taki zapis?

2) Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b (0,1)}\), to \(\displaystyle{ \log_{a}b+\log_{b}a qslant 2}\).

Wiem , że \(\displaystyle{ \log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}}\). Ale jak próbuje to wykorzystać, to dochodzę do sprzeczności, więc na pewno gdzieś po drodzę się mylę.

Prosze o pomoc.

1) powinno wystarczyc

2)
\(\displaystyle{ \log_{a}b+\log_{b}a qslant 2}\)


\(\displaystyle{ \frac{1}{\log_{b}a}+\log_{b}a qslant 2}\), niech \(\displaystyle{ \log_{b}a=x}\) wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+x qslant 2}\) \(\displaystyle{ /*x}\)
\(\displaystyle{ 1+x^2 qslant 2x}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2 qslant 0}\)
dalej sobie poradzisz