Matematyka.pl

Zadanie:
Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite n, dla których liczba 14n − 9
jest pierwsza.

Udało mi się już udowodnić z kongruencji, że dla n nieparzystych i n postaci 5k+2, liczba ta nie jest pierwsza, ale więcej nie udało się. Prosiłbym raczej o wskazówkę niż o odpowiedź, bo wolę sam pomyśleć nad zadaniem ;]

pozdro

Ponieważ 14 i 9 są względnie pierwsze, więc z tw. Dirichleta wynika, że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych podanej postaci. O wyznaczeniu jakiejś ładnej charakteryzacji wszystkich tych liczb raczej zapomnij.
Widać tylko na pewno, że jeśli n dzieli się przez 3, to 14n-9 też dzieli się przez 3.

Nie wiem skąd wziąłeś te liczby nieparzyste. Może chodziło Ci nie o 14n-9, lecz \(\displaystyle{ 14^n-9}\)? W takim razie faktycznie n>1 nieparzyste odpadają (podzielność przez 5), a dla n=2m parzystych mamy \(\displaystyle{ 14^n-9=(14^m-3)(14^m+3)}\)

Oczywiście chodziło mi o \(\displaystyle{ 14^n-9}\). Dzięki za pomoc.

Pozdro