Matematyka.pl

Witajcie, mam problem z takimi oto całkami nieoznaczonymi:

\(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ 2^{x}\cdot3^{2x}\cdot5^{3x}}\)\(\displaystyle{ dx}\)
\(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ (\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{2}dx}\)
\(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ x\sqrt{1+x^{2}}dx}\)
\(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ x(x^{2}+3)^{5}dx}\)

... i nie za bardzo rozumiem metodę rozwiązywania przez podstawianie...

3)Podstawienie:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+1}=t}\)
\(\displaystyle{ \frac{dt}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}dt}\)
Czyli dana całka równa się:
\(\displaystyle{ ={\int}x\sqrt{x^{2}+1}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}dt={\int}t^{2}dt=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{t^3}{3}+C=}\)
Wracasz do podstawienia:
\(\displaystyle{ =\frac{1}{3}(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}+C}\)

wielkie dzięki, ale skąd się wzięło \(\displaystyle{ \frac{dt}{dx} = \frac{x}{ \sqrt{x ^{2} +1} }}\)?

Różniczkuje obie strony równania z podstawieniem żeby obliczyć z tego dx.

4) wstaw \(\displaystyle{ x^{2}+3=t}\)
\(\displaystyle{ 2xdx=dt}\)
\(\displaystyle{ {\int}x(x^{2}+3)^{5}dx=\frac{1}{2}{\int}t^{5}dt}\)

a czy w tym przykładzie 3 zrobionym przez Lechu nie powinno byc jescze 1/3...

Powinno. Już poprawiłem.

witam
2)
\(\displaystyle{ \int (x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{3}})^2 = t( x +x^{-\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{6}}) =...}\)
dalej zastosuj wzór \(\displaystyle{ \int x^{n} =\frac{x^{n+1}}{n+1}}\)

mam nadzieje ze dobrze

1)\(\displaystyle{ \int 2^x\cdot 3^{2x}\cdot 5^{3x} dx=\int 2^x\cdot 3^x\cdot 3^x\cdot 5^x\cdot 5^x\cdot 5^x dx = t 2250^x dx}\)

Ja ten przykład zrobiłam co prawda w o wiele bardziej skomplikowany sposób, ale wyszło mi to samo: \(\displaystyle{ \int2250 ^{x}dx}\)
I co dalej?

skorzystaj ze wzoru

\(\displaystyle{ \int a^{x} dx= \frac{a^x}{ln(a)}}\)

Dzięki. Właśnie tego mi brakowało:-)