XXIII Konkurs Matematyczny im. J.Marszała.

Kangur, Alfik, Mistrzostwa w Grach Logicznych, Sejmik, Konkurs PW... Słowem - konkursy ogólnopolskie, ale nie OM.
weevil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 20 lis 2007, o 22:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

XXIII Konkurs Matematyczny im. J.Marszała.

Post autor: weevil » 30 lis 2007, o 16:07

Dzisiaj sie odbył etap finałowy XXIII konkursu matematycznego im J. Marszała w Łańcucie.
Oto zadania. Czas: 150min.

1. Dla jakich wartości \(\displaystyle{ x,y}\) spełniona jest nierówność: \(\displaystyle{ 2-x^2-y^2-\sqrt{(1-x^2)^2+(1-y^2)^2}>0}\) ?
2. W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD}\) przekątne przecinają sie w takim punkcie \(\displaystyle{ P}\), ze pola trójkątów \(\displaystyle{ ABP}\) i \(\displaystyle{ CDP}\) są równe. Wykazać, że czworokąt jest trapezem.
3. Wykazać, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) są różnymi pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^4+bx^3-1=0}\), gdzie \(\displaystyle{ b\in R}\), to liczba \(\displaystyle{ \alpha\cdot\beta}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^6+x^4+b^2x^3-x^2-1=0}\)

Zapraszam do rozwiązywania zadań. jeśli można to proszę o umieszczenie rozwiązań pod spodem.

szymek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 659
Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 54 razy

XXIII Konkurs Matematyczny im. J.Marszała.

Post autor: szymek12 » 25 kwie 2008, o 06:31

Z którego poziomu sa te zadania? Z drugiego czy trzeciego?

Flesiu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 16 lis 2007, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dębica

XXIII Konkurs Matematyczny im. J.Marszała.

Post autor: Flesiu » 25 kwie 2008, o 16:54

z trzeciego bo ja pisałem drugi i były inne

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

XXIII Konkurs Matematyczny im. J.Marszała.

Post autor: Dumel » 25 kwie 2008, o 17:41

pierwsze jest dosyć proste
\(\displaystyle{ 2-x^2-y^2=(1-x^2)+(1-y^2)> \sqrt{(1-x^2)^2+(1-y^2)^2} qslant 0}\)
czyli warunkiem koniecznym dla poprawności rozwiązania jest spełnienie nierówności
\(\displaystyle{ x^2+y^2 \sqrt{(1-x^2)^2+(1-y^2)^2}}\)
obie strony możemy podnieść do kwadratu:
\(\displaystyle{ (1-x^2)^2+(1-y^2)^2+2(1-x^2)(1-y^2)>(1-x^2)^2+(1-y^2)^2}\)
\(\displaystyle{ (1-x^2)(1-y^2)>0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1-x^2>0 \\ 1-y^2>0 \end{cases}}\)
lub
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1-x^2}\)

binaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 547
Rejestracja: 20 lis 2007, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko-Biała
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 120 razy

XXIII Konkurs Matematyczny im. J.Marszała.

Post autor: binaj » 25 kwie 2008, o 20:30

2.
\(\displaystyle{ P \Delta ABP = P \Delta DCP}\)
\(\displaystyle{ P \Delta ABP + P \Delta BPC = P \Delta DCP + P \Delta BPC}\)
\(\displaystyle{ P \Delta ABC = P \Delta BDC}\)
zatem odległość punktu A i punktu D od prostej BC jest taka sama, czyli \(\displaystyle{ AD||BC}\) C.N.D

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

XXIII Konkurs Matematyczny im. J.Marszała.

Post autor: Tristan » 28 kwie 2008, o 01:15

Ostatnio przeglądam te tematy konkursowe i tak natrafiłem na ten. Czy gdzieś znajdują się rozwiązania firmowe do tych zadań? W szczególności interesowałaby mnie elegancka metoda rozwiązania zadania trzeciego. No dobrze, może być jakakolwiek, bo się męczę i wyjśc mi nie chce

szymek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 659
Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 54 razy

XXIII Konkurs Matematyczny im. J.Marszała.

Post autor: szymek12 » 10 maja 2008, o 14:36

Mógłby ktoś dołaczyć zadania z finału dla klasy 2 i 1.
Dzięki;)

Zeratul
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 14 paź 2007, o 11:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Inf@EAIiE@AGH@KRK
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

XXIII Konkurs Matematyczny im. J.Marszała.

Post autor: Zeratul » 11 maja 2008, o 15:51

Zadanko trzecie:

Mamy dane:
\(\displaystyle{ \alpha^4+b\alpha^3-1=0}\)
\(\displaystyle{ \beta^4+b\beta^3-1=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha \beta}\)

Zero nie jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^4+bx^3-1=0}\), a zatem: \(\displaystyle{ \alpha 0 \beta 0}\)

Korzystając z tego możemy wyliczyć:
\(\displaystyle{ b = {1-\alpha^4 \over ^3} = {1-\beta^4 \over \beta^3}}\)

Przerabiamy powyższą równość i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \beta^3-\alpha^4\beta^3=\alpha^3-\beta^4\alpha^3}\)
\(\displaystyle{ \alpha^3-\beta^3+\alpha^4\beta^3-\beta^4\alpha^3=0}\)
\(\displaystyle{ (\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2+\alpha^3\beta^3)=0}\)
Korzystając z faktu \(\displaystyle{ \alpha \beta}\) mamy:
\(\displaystyle{ \alpha^2+\alpha\beta+\beta^2+\alpha^3\beta^3=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha^3\beta^3+\alpha\beta=-\alpha^2-\beta^2}\)
Podnosimy obustronnie do kwadratu i mamy:
\(\displaystyle{ \alpha^6\beta^6+2\alpha^4\beta^4+\alpha^2\beta^2=\alpha^4+2\alpha^2\beta^2 +\beta^4}\)
Przerabiamy:
\(\displaystyle{ \alpha^6\beta^6+\alpha^4\beta^4+(1-\alpha^4-\beta^4+\alpha^4\beta^4)-\alpha^2\beta^2-1=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha^6\beta^6+\alpha^4\beta^4+(1-\alpha^4)(1-\beta^4)-\alpha^2\beta^2-1=0}\)

\(\displaystyle{ \alpha^6\beta^6+\alpha^4\beta^4+{1-\alpha^4 \over ^3}\cdot {1-\beta^4 \over \beta^3}\cdot ^3\beta^3-\alpha^2\beta^2-1=0}\)

\(\displaystyle{ (\alpha\beta)^6+(\alpha\beta)^4+b^2(\alpha\beta)^3-(\alpha\beta)^2-1=0}\)

\(\displaystyle{ CBDU}\)

ODPOWIEDZ