Matematyka.pl

Proszę o pomoc z rozwiązaniem tego zadania...

Sprawdź monotoniczność i sprawdź czy ciąg jest ograniczony

Podany jest ciąg rekurencyjny:
\(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt{2+a_{n+1}}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=\sqrt{2}}\)


Dzięki z góry!!

Powinno być chyba \(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt{2+a_{n-1}}}\)
Jeżeli jednak jest zapisane dobrze to łatwo jest zauważyć, że \(\displaystyle{ a_{n+1}=a^{2}_{n}-2}\) i wtedy \(\displaystyle{ a_{3}=-2}\) czyli sprzeczność gdyż wyraz poprzedni jest pierwiastkiem z liczby, a więc liczbą nieujemną.

Czyli ciąg jest na pewno źle zapisany

Przeprasz za bład... Prawidłowe równanie to

\(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt{2+a_{n-1}}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=\sqrt{2}}\)

Wytłumaczenie jest trochę mętne, ale spróbuję:
Udowodnimy najpierw, że ciąg jest ograniczony z góry przez 2.
Przyjmijmy, że istnieje \(\displaystyle{ a_{n}>2}\) wtedy:
\(\displaystyle{ a_{n}>2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a_{n-1}+2}>2}\)
\(\displaystyle{ a_{n-1}>2}\)
Więc skoro pierwszy wyraz ciągu jest mniejszy od 2 to każdy kolejny jest mniejszy od 2, bo kolejny może być większy od 2 wtedy gdy poprzedni jest większy od 2 itd. aż dochodzimy do pierwszego wyrazu.
Udowodnimy, że ciąg jest rosnący. Zbadajmy różnicę wyrazów:
\(\displaystyle{ a_{n}-a_{n-1}>0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2+a_{n-1}}>a_{n-1}}\)
Po podniesieniu obustronnie do kwadratu mamy równanie kwadratowe, którego rozwiązaniem jest przedział \(\displaystyle{ a_{n-1}\in(-2,2)}\). Pierwszy wyraz ciągu należy do tego przedziału, więc ciąg jest dla niego rosnący. Dalej każdy kolejny wyraz jest mniejszy od 2(co udowodniliśmy), a więc ciąg "rośnie w nieskończoność".
Podsumowując:
ciąg jest rosnący. Ograniczony z góry przez 2. Z dołu ograniczony przez pierwszy wyraz ciągu(wynika to z faktu, że jest rosnący)