Matematyka.pl

Pokazać, że zbiór punktów \(\displaystyle{ V= \{ (x_1, x_2, x_3,x_4) R^4 : 2x_1 + x_2 -x_3=0 \ x_1- x_4=0 \}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ R^4}\). Znaleźć bazę i wymiar V oraz współrzędne wektorów (1,0,1,2) i (2,1,5,2) w znalezionej bazie.

Masz uklad dwoch rownan z czterema niewiadomymi, zatem uzaleznij sobie 2 zmienne od dowolnych parametrow, niech:
\(\displaystyle{ x_3=s, x_4=t}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_1+x_2=s\\x_1=t\end{cases}}\)
Zatem rozwazaniem naszego ukladu jest czworka:
\(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4)=(t,s-2t,s,t)}\)
Nasz otrzymany wektor mozemy zapisac w postaci liniowej kombinacji nastepujacych wektorow:
\(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4)=(t,-2t,0,t)+(0,s,s,0)=t(1,-2,0,1)+s(0,1,1,0)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \dim{V}=2}\)
Wektory bazowe:
\(\displaystyle{ (1,-2,0,1),(0,1,1,0)}\)

Sory ze sie dolacze, ale mam pytanie co do zapisania wektorow w znalezionej bazie. Te wektory maja nalezec do przestrzeni V?? Bo jesli tak, to musi byc gdzies blad, bo pierwszy nie spelnia warunkow tej podprzestrzeni :/

A drugi:
\(\displaystyle{ (2,1,5,2)=a(1,-2,0,1)+b(0,1,1,0)\\
(2,1,5,2)=(a,-2a+b,b,a)\\
a=2\ \ b=5\\
(2,1,5,2)=(2,5)_{\{ \mathbb{B}\}}\ \ B=\{(1,-2,0,1),(0,1,1,0)\}}\)

Dobrze?? POZDRO

co do pierwszego wektora rzeczywiscie nie nalezy on do naszej podprzestrzeni V.
W drugim wszystko jest Ok, twoje rozwiazanie rowniez.

właśnie jak znalezc wspolrzedne tych 2 wektorow w znalezionej bazie?

nie znajdziesz bo wektor pierwszy nie nalezy do rozpatrywanej podprzestrzeni V

No jednego juz masz Ten pierwszy nie nalezy do przestrzeni to sie go nie przedstawi w tej bazie. Ogolnie jesli nie wiesz dalej jak: Szukasz takich skalarow, by wektory z bazy mogly zastapic szukany wektor. Te wspolczynniki zapisujesz jako 'wektor' z indeksem bazy, tak jak zrobilem to ja. POZDRO

aha dzieki