Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (B_{A},d)}\) bedzie przestrzenia metryczna funkcji ciaglych okreslonych na przedziale domknietym A o wartosciach w R z metryka

\(\displaystyle{ d(f,g)=max_{x A}|f(x)-g(x)|}\)

Sprawdzic, czy w \(\displaystyle{ (B_{A},d)}\) zachodzi: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f_{n}=f}\) jezeli \(\displaystyle{ f_{n}(x)=\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}}\) , f(x)=0 oraz A=[1,2]

Dla \(\displaystyle{ x\in[1,2]}\) mamy
\(\displaystyle{ |f_n(x)-f(x)|=\frac{nx}{1+n^2x^2}\leqslant\frac{2n}{1+n^2}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ d(f_n,f)=\max_{x\in[1,2]}|f_n(x)-f(x)|\leqslant\frac{2n}{1+n^2}\to0}\)
czyli podana zbieżność zachodzi.