Matematyka.pl

jak obliczyć granice:
1). \(\displaystyle{ \lim_{x\to\0}\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}}\)
2). \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{2x}{\sqrt[2]{x^{2}+1}}}\)

W pierwszym granice obustronne 0, w drugim z mianownika wyłączasz x przed znak pierwiastka i skracasz.

olazola mam takie pytanie w 2 ma być wynik : \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) ?? czy sie pomyliłem ??

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=2}\)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

olazola, w pierwszym w obu granicach wychodzi Ci symbol nieoznaczony typu \(\displaystyle{ \frac{0}{\infty}}\)
próbowałem to robić innymi sposobami ale jakoś się mi nie udaje

Rzeczywiście, nie zauważylam, gdyby bylo +2 to by się zgadzalo.
Pojdzie stosujac regule de l'Hospitala wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{12}}\)

przepraszam za błąd: mnie raczej chodziło o granicę w -nieskończnoności w 2).
co do 1). - proszę o sposób jak do tego dojść

[ Dodano: Pon Kwi 11, 2005 1:09 pm ]
P.S. w 2). limes=-2

Proszę bardzo:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt[3]{x+8}-2)^{\prime}}{x^{\prime}}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{3}(x+8)^{-\frac{2}{3}}}{1}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(\sqrt[3]{x+8})^2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^2}=\frac{1}{12}}\)

[ Dodano: Pon Kwi 11, 2005 6:43 pm ]
A i jeszcze ta druga:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2\(1+\frac{1}{x^2}\)}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{2x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\)
Teraz chyba już jasne dlaczego -2

OLAZOLA: chyba jestem tępy, bo dalej nie kumam:
ad 2). ... i teraz gry licznik i mianownik pomnożę przez 1/x to licznik=2, a w mianowniku
pozostanie pierwiastek którego limes=1
wyprowadź mnie z błędu
dzięki z góry

Z tego pierwiastka mamy 1, ale problem jest ze skracaniem tych x w liczniku i mianowniku, ponieważ x dąży do \(\displaystyle{ -\infty}\), więc w liczniku będzie coś z minusem a w mianowniku to samo tylko z plusem (dzięki tej wartości bezwzlgędnej) no i stąd ten -. Nie wiem czy to nie jest przypadkiem nadinterpretacja, może ktoś inny ma jakiś pomysł?

co do drugiego to jak najbardziej się zgadzam-moduł z liczby ujemnej jest liczbą do niej przeciwną-w tym przypadku x dąźy do -niesk więc trzeba przyjąć że jest wystarczająco mały by być ujemny: więc |x|=-x
co do sposobu pierwszego to nie znam pana de l'Hospitala i sie nie wypowiem.. (czy to nie jest twierdzenie że granica f-cji jest równa granicy pochodnej?-strzelam-wnoioskuję z zapisu...)

po namyśle: chyba jednak łatwiej będzie zrobić to tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}\frac{2x}{|x|\sqrt[2]{1+\frac{1}{x^{2}}}}=\lim_{x\to -\infty}2\cdot\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{|x|}\cdot\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=2\cdot 1\cdot\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{|x|}}\)
i pomocniczo naszkicować wykres funkcji \(\displaystyle{ y=\frac{x}{|x|}}\) i posługując się def. Heinego o granicy funkcji w nieskończoności wykazać, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}\frac{x}{|x|}=-1}\)

[ Dodano: Sro Kwi 13, 2005 11:09 am ]
oj rypnąłęm się, ale i tak wiadomo o co chodzi...

[Edit: olazola] Poprawiłam ten zapis, mam nadzieję, że o to chodziło.