Strona 1 z 1
wykaż że zbiory maja alef zero
: 22 lis 2007, o 22:24
autor: invx
wykaż że zbiory maja alef zero
A - zbiór odwrotności liczb naturalnych
AxB - jeśli A i B są zbiorami przeliczalnymi
wykaż że zbiory maja alef zero
: 23 lis 2007, o 09:24
autor: UNIX_admin
zakladam, ze 0 nie jest liczna naturalna (ale nie ma to znaczenia)
odwrotnosci liczb naturalnych jest tyle ile liczb naturalnych, to dosc intuicyjne, latwo pokazac funkcje przyporzatkowujaca kazdej liczbie naturalnej jej odwrotnosc. Wynika z tego, ze licznowsc zbioru odwrotnosci jest rowna \(\displaystyle{ \aleph}\).
Co do iloczynu kartezjnskiego, to mozna powiedziec, ze licznosc takiego zbioru jest rowna licznosci zbioru liczb wymiernych (w przypadku gdy moce zbiorow A i B sa mniejsze lub rowne mocy zbioru liczb naturalnych, a z warunku przeliczalnosci wynika, iz w istocie tak jest), a tych jest \(\displaystyle{ \aleph}\).
Udowodnic to mozna w nastepujacy sposob:
zbudujmy macierz M o wymiarach |A| x |B|
oznaczmy przez \(\displaystyle{ a_{0}, a_{1}, ...}\) elementy zbioru A
i analogicznie przez \(\displaystyle{ b_{0}, b_{1}, ...}\) elementy zbioru B
oba zbiory uporzatkujmy tak, zeby elementy o mniejszym indeksie mialy niewieksza wartosc od elementow o indeksie wiekszym (czyli rosnaco)
macierz zbudujmy tak, zeby element \(\displaystyle{ m_{ij}}\) mialy wartosc \(\displaystyle{ \frac{a_{i}}{b_{j}}}\)
teraz odczytajmy elementy macierzy poczawszy od "lewego gornego rogu" poprzez kolejne lezace na kolejnych przekatnych przesuwajac sie ku prawemu dolnemu naroznikowi. (wiem, ze to nie matematyczne wyjasneinie, ale chyba wiamomo o co chodzi). jesli wartosci zbiorow A i B sa liczbami, to moze sie zdazyc, ze kilka ewementow macierzy bedzie mialo te sama wartosc, wowczas wystarczy wybrac jeden z tych elementow.
uzyskamy w ten sposob uporzatkowany ciag wartosci, ktory jest rownoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (latwo pokazac odpowiednai funkcje), a co z tego wynika moc AxB wynosi \(\displaystyle{ \aleph}\).
oczywiscie trzeba zalozyc, ze przynajmniej jeden ze zbiorow A lub B jest nieskonczony, bo w przeciwnym przypadku moc AxB bedzie mniejsza od \(\displaystyle{ \aleph}\).
PS. jesli ktos chce formalny (zapisany jezykiem matematycznym) dowod, to prosze pisac.