(2 zadania) kula w stożku, ostrosłup praw. trójkątny

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
kate
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 5 kwie 2005, o 19:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice

(2 zadania) kula w stożku, ostrosłup praw. trójkątny

Post autor: kate » 5 kwie 2005, o 19:59

zadanie 1:
Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek jest 16/9 razy większe, niż pole podstawy tego stożka. Oblicz sinus kąta rozwarcia tego stożka.

zadanie 2:
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędzie boczne mają długość b, kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę 2α. Oblicz objętość ostrosłupa.

Z góry dziękuję

paulgray
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 23 wrz 2004, o 20:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: AGH-EAIiE
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

(2 zadania) kula w stożku, ostrosłup praw. trójkątny

Post autor: paulgray » 5 kwie 2005, o 20:45

1. obliczasz zależność międz promieniami kuli i podstawy stożka: \(\displaystyle{ \frac{9}{4}R^{2}=r^{2}}\) gdzie R-promień kuli, r-promień podst. stożka
następnie malujesz przekrój osiowy stożka (trójkąt równoramienny) i zauważasz że średnica kuli o dl 2R jest równoległa do podst o dł 3/4 R i oddalona od niej o R. Następnie dzielisz ten trójkąt na połowę, "odcinasz" kwadrat o boku R i wierzchołku przy kącie prostym trójkąta i ten trójkącik na dole co powstanie jest podobny do wyjściowego-ma on kąt \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\)teraz ładnie z twierdzenia pitagorasa obliczasz dł p-wprostokątnej i stamtąd już sinus tego kąta \(\displaystyle{ \sin \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{17}}{17}}\) i na koniec \(\displaystyle{ \sin =\sin 2\frac{\alpha}{2}=2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}\) a cosinus wyliczasz z jedynki tryg.
wynik: \(\displaystyle{ \sin =\frac{8}{17}}\)

2. ściana boczną jest trójkąt równoramienny o bokach b, b, a i kącie przy podstawie równym \(\displaystyle{ 2\alpha}\). z f-cji tryg obliczamy dł. a \(\displaystyle{ a=2b\cos 2\alpha}\)
następnie ostrosłup przecinamy płaszczyzną przechodzącą przez wysokość podstawy i jedną krawędź boczną: płaszczyzna ta jest trójkątem składającym się z 2 trójkątów prostokątnych: o bokach b, H, \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{3}}\) i H, \(\displaystyle{ h_{b}, \frac{a\sqrt{3}}{6}}\) gdzie hb jest wysokością sściany bocznej, H wysokością ostrosłupa. Z tego pierwszego trójkąta z tw pitagorasa obliczamy H \(\displaystyle{ H=\frac{b\sqrt{3(3-4\cos^{2} 2\alpha)}}{3}}\) i następnie podstawiamy tylko do wzoru na objętość ostrosłupa: \(\displaystyle{ V=\frac{b^{3}\cos 2\alpha \sqrt{2(3-4cos^{2} 2\alpha)}}{9}}\)
sądzę, iż istnieje jakiś prostszy zapis tego rozwiązania ale nie chce mi się już kombinować

W_Zygmunt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 545
Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 53 razy

(2 zadania) kula w stożku, ostrosłup praw. trójkątny

Post autor: W_Zygmunt » 6 kwie 2005, o 20:42

Pierwsze wyszło mi tak:

\(\displaystyle{ \beta = 180^o-2\cdot }\)
\(\displaystyle{ tan(\frac{\alpha}{2})= \frac{2}{3}}\)
oznaczmy go przez t.

\(\displaystyle{ sin(\beta) = sin(180^o-2\cdot ) =sin(2\cdot ) = 2\cdot sin(\alpha) cos(\alpha)}\)
Teraz z wzorów na funkcje wyrażone przez tangensy połówek
\(\displaystyle{ sin(\beta) = 2\cdot (\frac{2\cdot t}{1+t^2})\cdot (\frac{1-t^2}{1+t^2})}\)
\(\displaystyle{ sin(\beta) =2\cdot (\frac{2\cdot \frac{2}{3}}{1+(\frac{2}{3})^2})\cdot (\frac{1-(\frac{2}{3})^2}{1+(\frac{2}{3})^2}) = \frac{120}{169}}\)

Ad 2.


\(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{2}}{b} \, = \, \sin(\alpha)}\)
\(\displaystyle{ a=2\cdot b\cdot \sin(\alpha)}\)
\(\displaystyle{ |SA|=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a=\frac{2\cdot \sqrt{3}}{2} b \sin(\alpha)}\)
Z trójkąta SAD
\(\displaystyle{ |SA|^2+h^2= b^2}\)
\(\displaystyle{ h = \frac{\sqrt{3}}{3} b \sqrt{(3- 4\cdot \sin^2(\alpha))}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} b^3\cdot sin^2(\alpha)\cdot \sqrt{3-4 \sin^2(\alpha)}}\)

kate
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 5 kwie 2005, o 19:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice

(2 zadania) kula w stożku, ostrosłup praw. trójkątny

Post autor: kate » 12 kwie 2005, o 00:20

Dziękuję bardzo ...ale czy mogę prosić o rozpisanie obiliczenia h dla trójkąta SAD w drugim zadaniu. Nie daję sobie rady z tym obliczeniem.

W_Zygmunt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 545
Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 53 razy

(2 zadania) kula w stożku, ostrosłup praw. trójkątny

Post autor: W_Zygmunt » 12 kwie 2005, o 20:25

W wyrażeniu na |SA| wkradła się pomyłka, ma być :

\(\displaystyle{ |SA|=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a=\frac{2\cdot \sqrt{3}}{3} b \sin(\alpha)}\)

\(\displaystyle{ h^2 = b^2-|SA|^2}\)
\(\displaystyle{ h^2 = b^2-(\frac{2\cdot \sqrt{3}}{3} b \sin(\alpha))^2}\)
\(\displaystyle{ h^2 = b^2(1-(\frac{2\cdot \sqrt{3}}{3} \sin(\alpha))^2)}\)
\(\displaystyle{ h^2 = b^2(\frac{ 3-4 \sin^2(\alpha)}{3})}\)

\(\displaystyle{ h = \frac{\sqrt{3}}{3} b \sqrt{(3- 4\cdot \sin^2(\alpha))}}\)

ODPOWIEDZ