S-8, od: niewiadomo, zadanie 3
: 19 lis 2007, o 00:26
niewiadomo pisze:Oznaczmy ramię trójkąta równoramiennego a, podstawę 2c, wysokość h, pole trójkąta P.
Jeżeli obrócimy wokół podstawy otrzymamy bryłę złożoną z dwóch identycznych stożków, w które powstały przez obrót trójkąta prostokątnego, będącego połowa trójkąta równoramiennego. Zauważmy że objętość tego stożka jest tym większa im większe pole ma trójkąt prostokątny.
Podstawą tego trójkąta jest połowa podstawy trójkąta równoramiennego, czyli c, przeciwprostokątną a, a wysokości h. Z zadania wiemy że 2c+2a=90cm => a+c=45 => c=45-a.
Jak już powiedziałem objętość jest tym większa im większe pole. Tak więc musimy znaleźć dla jakiego a pole trójkąta prostokątnego jest największe. Wzór na pole wyraża się wzorem:
P=c*h/2 => uwzględniając c=45-a i tw. Pitagorasa Otrzymujemy \(\displaystyle{ P=\frac{(45-a) \sqrt{a^{2}-(45-a)^{2}}}{2}=\frac{ \sqrt{(45-a)^{2}(a^{2}-(45-a)^{2})}}{2}}\)
Ponieważ musimy znaeźć maksymalną wartość dla tego pola może znieść pierwiastek oraz w mianowniku 2, ponieważ z tym jak i bez tego a, dla którego wartość tej funkcji bedzie maksymalne, będzie takie same. Po uporzadkowaniu musimy znaleźć a dla którego:
(*)\(\displaystyle{ f(a)=45(45-a)^2(2a-45)}\)
45 możemy usunąć, z tych samych względów co wyżej. Ostatecznie funkcja wygląda:
\(\displaystyle{ f(a)=2^{3}-225a^2+8100a}\)
Można narysować ową funkcję i sprawdzić dla jakiego a wartość tej funkcji bedzię maksymalna wiemy również, że 22,5