Matematyka.pl

*Kasia pisze:Zadanie 1
Znaleźć współrzędne wierzchołka C trójkąta równoramiennego ABC, gdzie \(\displaystyle{ A(2,0), \ B(0,2)}\), wiedząc, że środkowe tego trójkąta AD i BE są do siebie prostopadłe.

Rozwiązanie:

Oczywiste jest, że ramionami tego trójkąta są boki AC i BC (w przeciwnym wypadku jedna z danych środkowych byłaby prostopadła do podstawy, co prowadziłoby do sprzeczności).

Czyli dane środkowe są poprowadzone z wierzchołków przy podstawie. Z tego wynika, że kąty między podstawą a środkowymi wynoszą \(\displaystyle{ 45^o}\) (suma miar kątów między jedną środkową i podstawą, drugą środkową i podstawą oraz między środkowymi musi wynosić \(\displaystyle{ 180^o}\) - suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie).

Prosta, na której leżą punkty A i B ma równanie \(\displaystyle{ y=-x+2}\) (łatwo to wyliczyć podstawiając wartości odciętej i rzędnej obu punktów do równania ogólnego prostej i rozwiązując układ równań).

Ponieważ środkowe są nachylone pod kątem \(\displaystyle{ 45^o}\) do postawy, to:
środkowa AD należy do: \(\displaystyle{ x=2}\);
środkowa BE należy do: \(\displaystyle{ y=2}\).

Punkt ich przecięcia to O (2,2). Wiadomo, że środkowe przecinają się tak, że dzielą się w stosunku 1:2 licząc od boku trójkąta.
Z tego i równań prostych, do których należą środkowe wynika, że:
\(\displaystyle{ D(2;\frac{3}{2}(2-0));\ D(2;3);\\
E(\frac{3}{2}(2-0);2);\ E(3,2)}\)

Punkt C jest taki, że \(\displaystyle{ BD=DC}\) oraz C leży na prostej BD. Zatem:
\(\displaystyle{ C(0+2(2-0);2+2(3-2));\ C(4;4)}\)

Odpowiedź: Aby trójkąt ABC spełniał warunki zadania, współrzędne punktu C muszą być równe: \(\displaystyle{ C(4,4)}\).