Seria 9 (19.11.07r.-25.11.07r.)
: 18 lis 2007, o 20:59
- Dany jest pewien graniastosłup prawidłowy trójkątny, w którym pole powierzchni bocznej równa się sumie pól obu podstaw. \(\displaystyle{ S_{1}}\) i \(\displaystyle{ S_{2}}\) to dwie sąsiednie ściany boczne, zaś \(\displaystyle{ l}\) jest przekątną w \(\displaystyle{ S_{1}}\). Obliczyć cosinus kąta nachylenia \(\displaystyle{ l}\) do \(\displaystyle{ S_{2}}\).
- Wyznaczyć równanie kwadratowe takie, aby suma odwrotności jego pierwiastków była równa \(\displaystyle{ \tfrac{3}{2},}\) zaś suma odwrotności sześcianów jego pierwiastków wynosiła \(\displaystyle{ \tfrac{9}{8}.}\)
- Do pustej urny włożono 8 kul białych i 4 czarne, a potem losuje się bez zwracania 5 kul. Jakie jest prawdopodobieństwo, że stosunek liczby kul białych do liczby kul czarnych w urnie uległ zwiększeniu?
- Mamy dwa wektory \(\displaystyle{ \scriptsize{\overrightarrow{OM}}}\) i \(\displaystyle{ \scriptsize{\overrightarrow{ON}}}\) wyznaczające trójkąt \(\displaystyle{ OMN}\), przy czym oba te wektory mają długość równa 1, zaś kąt między nimi ma miarę \(\displaystyle{ 60^{o}}\). Na boku \(\displaystyle{ OM}\) jest punkt \(\displaystyle{ K}\), taki że \(\displaystyle{ OK=\tfrac{1}{4}OM}\), zaś na boku \(\displaystyle{ ON}\) jest punkt \(\displaystyle{ L}\), taki że \(\displaystyle{ OL=\tfrac{2}{7}ON}\). Wykaż, że wektory \(\displaystyle{ \scriptsize{\overrightarrow{NK}}}\) i \(\displaystyle{ \scriptsize{\overrightarrow{ML}}}\) są do siebie prostopadłe.