Matematyka.pl

w zbiorze \(\displaystyle{ F=\{f:f: R\}}\) określamy działania dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalar \(\displaystyle{ f+g: x f(x)+g(x) , \lambda f: x \lambda f(x)}\). Zbadać, czy \(\displaystyle{ (A, R,+,*)}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ (F,R,+,*)}\), jeżeli:

\(\displaystyle{ A=\{f F: f(x)= ax^{2}+bx+c, a 0\}}\)
i drugi przykład:
\(\displaystyle{ A=\{f F: 2f(0)=f(1)\}}\)

Z góry dzięki za pomoc

Przyjmuje, że:
\(\displaystyle{ f,g A\\
, \beta R}\)

1. \(\displaystyle{ (\alpha f + \beta g)(x) = f(x) + \beta g(x) = a_{1}x^2+b_{1}x+c{1}+a_{2}x^2+b_{2}x+c{2} = (a_{1}+a_{2})x^2+(b_{1}+b_{2})x +(c_{1}+c_{2})}\)

Jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ a_{1}=-a_{2}}\) powyższe wyrażanie nie należy do A, więc A nie jest podprzetrzenią.

2. \(\displaystyle{ (\alpha f + \beta g)(x) = f(x) + \beta g(x)\\
(\alpha f + \beta g)(1) = f(1) + \beta g(1) = 2\alpha f(0) + 2\beta g(0) = 2(\alpha f(0) + \beta g(0)) = 2(\alpha f + \beta g)(0))}\)

Zatem jest to A jest podprzestrzenią.

Wydaje mi się, że dobrze zrobiłem, ale może niech ktoś potwierdzi