Matematyka.pl

Nie jestem pewien wyniku, więc byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktos to przeliczył.

\(\displaystyle{ \left( |8+6i| \frac{-1+2i}{2-i}\right) ^{2} = z^{4}}\)

Najpierw wyliczamy moduł potem mnożymy ułamek przez sprzężenie mianownika. Tak to robiłem.
Dziękuję za ewentualna pomoc.

I SPOSóB
dochodzisz do
\(\displaystyle{ z^4=(-8 + 6i)^2}\)
zauważasz, że
\(\displaystyle{ -8+6i = (1+3i)^2}\)
i otrzymujesz
\(\displaystyle{ z^4=(1+3i)^4}\)
z tego masz że jednym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 1+3i}\) a następne wyznaczasz z tego że pierwiastki tworzą n-kąt foremny.

II SPOSóB
można też podstawić \(\displaystyle{ z=t^2}\)
wtedy \(\displaystyle{ t = - 8 + 6i}\) lub \(\displaystyle{ t = 8 - 6i}\)
skoro \(\displaystyle{ z^2 = t}\), to podstawiajac \(\displaystyle{ z=a+bi}\):
\(\displaystyle{ (a+bi)^2 = - 8 + 6i}\)
stąd uklad
\(\displaystyle{ a^2 - b^2 = -8}\)
\(\displaystyle{ 2ab = 6}\)
itd.

Ps.: Rozwiązanie zawdzięczamy Pani Ani i tu pozdrowienia!

Dzięki za pomoc, ale sam zdążyłem się uwinąć już wcześniej.

A swoją drogą Pani Ania jest the best jako ćwiczeniowiec.