Równania różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
intel86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 20 sty 2006, o 08:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziądz

Równania różniczkowe

Post autor: intel86 » 14 lis 2007, o 23:34

a)\(3x^{2}e^{y}dx+(x^{3}e^{y}-1)dy=0\) b)\(y'+ \frac{y}{x}=\frac{1}{x}\) c)\(y"+9y=2\), przy warunkach początkowych \(y(0)=-1, y'(0)=1\) d)\(4xy"=y'\) Za pomoc z góry dzięki
Ostatnio zmieniony 15 lis 2007, o 09:50 przez intel86, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
abrasax
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 844
Rejestracja: 20 maja 2005, o 13:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zabrze

Równania różniczkowe

Post autor: abrasax » 15 lis 2007, o 09:10

a) \(3x^{2}e^{y}dx+(x^{3}e^{3}-1)dy=0\)
nie powinno być przypadkiem \(x^3e^y\) zamiast \(x^3e^3\) ? b) równanie jednorodne - rozdzielenie zmiennych \(y'=-\frac{y}{x}\) \(\int \frac{dy}{y}=- t \frac{dx}{x}\) \(y=\frac{C}{x}\) równanie niejednorodne - uzmiennianie stałej \(y'+\frac{y}{x}=\frac{1}{x}\) \(y=\frac{C(x)}{x}\) \(\frac{C'(x)}{x}=\frac{1}{x}\) \(C(x)=x+C_1\) ostatecznie rozwiązanie: \(y=\frac{x+C_1}{x}=\frac{C_1}{x}+1\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Równania różniczkowe

Post autor: luka52 » 15 lis 2007, o 14:57

[b]d)[/b] podst. [i]p = y'[/i].

[b]a)[/b] jest to r. zupełne. Oznaczamy
[latex]P(x,y) = 3x^2 e^y, \quad Q(x,y) = x^3 e^y - 1[/latex]
Lewa strona równania jest różniczką zupełną pewnej funkcji [i]F[/i] i zachodzi:
[latex]\frac{\partial F}{\partial x} = P(x,y), \quad \frac{\partial F}{\partial y} = Q(x,y)\\
F = \int P(x,y) \, \partial x = \int 3x^2 e^y \, \partial x = x^3 e^y + \varphi (y)\\
\frac{\partial F}{\partial y} = x^3 e^y + \varphi ' (y) \equiv x^3 e^y - 1 \Rightarrow \varphi ' (y) = -1\\
\varphi (y) = -y[/latex]

i ostatecznie rozwiązaniem jest:
[latex]x^3 e^y - y = C[/latex]

intel86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 20 sty 2006, o 08:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziądz

Równania różniczkowe

Post autor: intel86 » 16 lis 2007, o 00:30

Nawet czaje a jak sie najlepiej zabrać za b??

Awatar użytkownika
abrasax
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 844
Rejestracja: 20 maja 2005, o 13:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zabrze

Równania różniczkowe

Post autor: abrasax » 17 lis 2007, o 08:46

c) 1. rozwiązujemy równanie jednorodne \(y''+9y=0\) korzystamy z równania charakterystycznego: \(t^2+9=0\) \(t_1=3i=\alpha +\beta x\) \(t_2=-3i\) rozwiązania: \(y_1=e^{\alpha x}cos(\beta x)=cos3x\) \(y_1=e^{\alpha x}sin(\beta x)=sin3x\) rozwiązanie ogólne równania: \(y_2=C_1y_1+C_2y_2=C_1cos3x+C_2sin3x\) 2. równanie niejednorodne \(y''+9y=2\)- metoda przewidywań ponieważ po prawej stronie równania występuje wielomian stopnia 0, to przewidujemy rozwiązanie szczególne równania w postaci: \(y_3=a\) \(y_3''=0\) podstawiamy do równania niejednorodnego i obliczamy stałą a: \(9a=2\) rozwiązanie szczególne: \(y_3=\frac{2}{9}\) 3. rozwiązanie równania składa się z sumy rozwiązania ogólnego i szczegółowego \(y=C_1cos3x+C_2sin3x+\frac{2}{9}\) 4. uwzględniając warunki początkowe należy wyznaczyć wartości stałych \(C_1, \ C_2\)

zmorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 21 gru 2009, o 21:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: DG

Równania różniczkowe

Post autor: zmorek » 21 gru 2009, o 21:17

W jaki sposób należy uwzględnić warunki początkowe, aby wyznaczyć \(C_{1} ,C _{2}\) . Tzn gdzie i jak to podstawić. Z góry dzieki za pomoc.

Awatar użytkownika
abrasax
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 844
Rejestracja: 20 maja 2005, o 13:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zabrze

Równania różniczkowe

Post autor: abrasax » 25 gru 2009, o 09:14

\(y=C_1cos3x+C_2sin3x+\frac{2}{9}\) 1. \(y(0)=-1\) \(y(0)=C_1cos0+C_2sin0+\frac{2}{9}=C_1+\frac{2}{9}\) \(C_1+\frac{2}{9}=-1\) \(C_1=-1\frac{2}{9}\) 2. \(y'(0)=1\) \(y'(x)=-3C_1sin3x+3C_2cos3x+\frac{2}{9}\) \(y'(0)=-3C_1sin0+3C_2cos0+\frac{2}{9}=3C_2+\frac{2}{9}\) \(3C_2+\frac{2}{9}=1\) \(C_2=\frac{7}{27}\) Rozwiązanie: \(y=-1\frac{2}{9}cos3x+\frac{7}{27}sin3x+\frac{2}{9}\)

ODPOWIEDZ