Matematyka.pl

LOKATY TERMINOWE

Będzie tu mowa o lokatach terminowych (zwanych też depozytami). Jakie są rodzaję depozytów. Oraz o tym jak sobie obliczyć wartość przyszłą pieniędzy włożonycb np. do banku.

Definicja depozytu

Depozyt (lokata terminowa) - tak nazywamy dwustronną umowę na mocy której jedna ze stron zwana deponentem (ten który wpłaca) przekazuje drugiej stronie (zwanej depozytariuszem) prawa do dysponowania określoną kwotą pieniężną przez określony czas na określonych warunkach

Warunki o których mowa to:
wysokość nominalnej stopy procentowej
okres nominalnej stopy procentowej (najczęściej jest to rok)(ozn. OS)
moment naliczania odsetek;czyli inaczej: moment kapitalizacji; - jeżeli na początku okresu okapitalizacji to jest to kapitalizacja z góry(ozn. GR), jeżeli zaś na końcu okresu kapitalizacji to jest to kapitalizacja z dołu (ozn. DŁ)
rodzaj kapitalizacji: prosta lub złożona
- prosta (ozn. PR) - gdy procent liczymy od kapitału początkowego
- złożona (ozn. ZŁ) - gdy procent liczymy od dotychczas zgromadzonego kapitału
okres kapitalizacji (ozn. OK):
- kapitalizacja zgodna (ozn. ZG) - gdy okres kapitalizacji = okres stopy procentowej
- kapitalizacja niezgodna (ozn. NZ) - gdy okres kapitalizacji jest niezgody z okresem stopy procentowej)

Postaram się teraz wyprowadzić wzory na obliczanie wartości przyszłej depozytów.
Czyli mamy kapitalizację z dołu, zgodną, złożoną. Np. jest roczna stopa procentowa, odsetki naliczane są na koniec każdego roku.

- \(\displaystyle{ r}\) - stopa procentowa ( rozumiana jako liczba nie jako procent, tzn. jeżeli mówimy o 12 %-owej stopie to r=0.12)
- \(\displaystyle{ n}\) - ilość okresów stopy procentowej
- \(\displaystyle{ K_n}\) - kapitał po n okresach
- \(\displaystyle{ K_0}\) - kapitał początkowy

Załóżmy, że stopa procentowa jest roczna. Po roku odsetki będą wynosiły \(\displaystyle{ K_0r}\) więc kapitał po pierwszym roku będzie równy
\(\displaystyle{ K_1=K_0+K_0r=K_0(1+r)}\)
Po drugim roku odsetki naliczamy z kapitału \(\displaystyle{ K_1}\)
\(\displaystyle{ K_2=K_1+K_1r=K_1(1+r)=K_0(1+r)^2}\)
.
.i tak n razy
. zatem:
Przykład. Wpłacamy 1000 PLN na lokatę na okres 10 lat. Bank oferuje roczną stopę procentową 6 %.
Uwaga: w treści zadania nie podano rodzaju kapitalizacji więc jest ona z dołu, zgodna i złożona.
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ r=0,06}\)
\(\displaystyle{ n=10}\)
\(\displaystyle{ K_0=1000}\)

\(\displaystyle{ K_n=1000(1+0,06)^{10}}\)
\(\displaystyle{ K_n=1790,85}\)

Czyli mamy kapitalizację z dołu, zgodną, prostą. Np. jest roczna stopa procentowa, odsetki naliczane są na koniec każdego roku.

Załóżmy, że stopa procentowa jest roczna. Po roku odsetki będą wynosiły \(\displaystyle{ K_0r}\) więc kapitał po pierwszym roku będzie równy
\(\displaystyle{ K_1=K_0+K_0r=K_0(1+r)}\)
Po drugim roku odsetki naliczamy z kapitału \(\displaystyle{ K_0}\)
\(\displaystyle{ K_2=K_1+K_0r=K_0(1+r)+K_0r=K_0(1+2r)}\)
.
.i tak n razy
. zatem:
Przykład. Po jakim czasie kapitał włożony do banku podwoi się, jeżeli bank stosuje kapitalizację prostą z roczną stopą procentową 10 %.
Uwaga: ponieważ w treści zadania nie podano czy jest to kapitalizacj z dołu czy z góry więc jest ona z dołu, jest także zgodna, ponieważ nie jest podane inaczej.
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ r=0,1}\)
\(\displaystyle{ K_n=2K_0}\)
\(\displaystyle{ n=?}\)
stosuje wzór
\(\displaystyle{ K_n=K_0(1+nr)}\)
podstawiam
\(\displaystyle{ 2K_0=K_0(1+0,1n)}\)
po odpowiednich operacjach
\(\displaystyle{ n=10}\)
zatem odowiedź brzmi: po 10 latach kapitał sie podwoi.
Czyli mamy kapitalizację z dołu, niezgodną, złożoną. Np. jest roczna stopa procentowa, odsetki naliczane są na koniec każdego miesiąca.
Zatem okres stopy procentowej (OS) jest różny od okresu kapitalizacji (OK)
Wprowadzamy:
\(\displaystyle{ m=\frac{OS}{OK}}\) - określa ile razy okres kapitalizacji mieści się w okresie stopy proc.
- jeżeli m > 1 to mamy kapitalizację w podokresach
- jeżeli m < 1 to mamy kapitalizację w nadokresach
- jeżeli m = 1 to mamy kapitalizację zgodną

\(\displaystyle{ \overline{r}=\frac{r}{m}}\) - względna stopa procentowa
\(\displaystyle{ \overline{n}=nm}\) - ilość okresów względnej stopy procentowej
zatem kożystając ze wzoru wyprowadzonego wcześniej mamy
jeżeli ilość okresów stopy procentowej jest \(\displaystyle{ k}\) to Przykład. Wpłacamy do banku 2000 PLN. Bank stosuje kapitalizację kwartalną z półroczną stopą procentową 2,5 %. Po roku wpłacamy jeszcze 500 PLN, jaki będzie kapitał zgromadzony po dwoch latach i trzech miesiącach?
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ K_0=2000}\)
\(\displaystyle{ r=0,025}\)
\(\displaystyle{ OS=\frac{1}{2}}\) - okres stopy wyrażony w latach
\(\displaystyle{ OK=\frac{1}{4}}\) - okres kapitalizacji wyrażony w latach
\(\displaystyle{ m=\frac{OS}{OK}=2}\)
najpierw policzymy kapitał po roku, zatem \(\displaystyle{ n=2}\)
\(\displaystyle{ K_1=K_0(1+\frac{r}{m})^{nm}}\)
\(\displaystyle{ K_1=2101,89}\)
po roku wpłacamy jeszcze 500 zł więc
\(\displaystyle{ K_{1}'=K_1+500=2601,89}\)
zostało jeszcze rok i trzy miesiące więc jest to 5 kwartałów zatem \(\displaystyle{ k=5}\)
\(\displaystyle{ K_{k/m}=K_{1}'(1+\frac{r}{m})^k}\)
Kapitał zgromadzony po dwóch latach i trzech miesiącach wynosi
\(\displaystyle{ K=2768,62}\)


Czyli mamy kapitalizację z dołu, niezgodną, prostą. Np. jest roczna stopa procentowa, odsetki naliczane są na koniec każdego miesiąca.

Kożystając z powyższych oznaczeń i wzoru w kapitalizacji zgodnej mamy

\(\displaystyle{ K_n=K_0(1+nm\frac{r}{m})}\)
zatem po \(\displaystyle{ k}\) okresach mamy Przykład. Wpłacamy do banku, który stosuje kapitalizaję miesięczną,prostą, 1000 PLN. Jaką stopę procentową kwartlną nalezy zastosować aby po 11 miesiącach otzymać 1100 PLN?
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ K_0=1000}\)
\(\displaystyle{ OS=\frac{1}{4} \qquad OK=\frac{1}{12}}\)
\(\displaystyle{ m=3 \qquad k=11}\)
kozystam z wzoru
\(\displaystyle{ K_{k/m}=K_0(1+k\frac{r}{m})}\)
przekształcamy i otrzymujemy
\(\displaystyle{ r=\frac{m}{k}(\frac{K_{k/m}}{K_0}-1)}\)
ostatecznie
\(\displaystyle{ r=0,0(27)}\)

c.d.n.

Początkowo temat z lokatami znajdował się w Kompendium, ale pomyślałem, że mając dział ekonomiczny, wywiesimy go tutaj jako ogłoszenie.

Pozdrawiam

Witam,

Czy wzór \(\displaystyle{ K_n=K_0(1+\frac{r}{m})^{nm}}\) to to samo co \(\displaystyle{ K_{k/m}=K_0(1+\frac{r}{m})^k}\)

Z moich wyliczeń wychodzi, że wszystko jedno.

Pozdrawiam,
Witek