Matematyka.pl

1. Uzasadnij że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ x}\) wartość wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^5-5x^3+4x}\) jest liczba podzielna przez 120.
2. Uzasadnij że równanie \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)=2006^3}\) nie ma pierwiastków całkowitych.
3. Udowodnij że jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+px+q}\) ma trzy pierwiastki, to \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą ujemną.

Proszę o rozwiązanie / wskazówki.

Moje postępy:
W zadaniu pierwszym dochodzę do tego, że wielomian można zapisać tak: (x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2). Powinienem tego jakoś dowieść, czy wystarczy napisać że iloczyn kolejnych pięciu liczb naturalnych jest zawsze podzielna przez 120?

Zadanie 1
\(\displaystyle{ W(x)=x^5-5x^3+4x = x[x^4-5x^2+4]=x[(x^2-1)(x^2-4)]=x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) = (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)}\)
Dla każdych pięciu kolejnych liczb naturalnych, co najmniej dwie liczby podzielne są przez 2, co najmniej jedna przez 3, co najmniej jedna przez 4 i co najmniej jedna przez 5.
\(\displaystyle{ 2 3 4 5 =120}\)

Dzięki, a co z następnymi? W trzecim zadaniu wykorzystałbym fakt, że funkcja musi być rosnąca, malejąca, a potem znów rosnąca - ale nie wiem za bardzo jak to zrobić.