Matematyka.pl

=/

Ciąg (\(\displaystyle{ a_{n}}\)) spełnia warunki \(\displaystyle{ a_{1} =1}\) i \(\displaystyle{ a_{n+1} = 2a_{n+1} +1}\) dla n \(\displaystyle{ \in}\) \(\displaystyle{ N_{1}}\) . Czy \(\displaystyle{ a_{1994} < 2^{1994}}\) ?

czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to zrobić ?=/ Z góry dziekuję=)..

mój 100 post

domyslam sie ze powinno byc \(\displaystyle{ a_{n+1} = 2a_n + 1}\). podstaw sobie \(\displaystyle{ b_n = a_n + 1}\) i zastanow sie jakim ciagiem jest \(\displaystyle{ b_n}\). latwo znajdziesz jego postac jawna, potem wroc do podstawienia i cale zadanie bedzie juz proste.

indukcyjnie:
oczywiście \(\displaystyle{ a_1 = 1 = 2^1 - 1}\)
dalej: załóżmy, że \(\displaystyle{ a_n = 2^n - 1}\)
wtedy \(\displaystyle{ a_{n+1} = 2 a_n + 1 = 2^{n+1} -2 +1 = 2^{n+1} -1}\)
Czyli zawsze \(\displaystyle{ a_n = 2^n-1}\)