Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}+\frac{1}{n^{4}} }}\)

Ja to widzę tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n} }\leqslant \sqrt[n]{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}+\frac{1}{n^{4}}} qslant \sqrt[n]{ \frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{4}} }}\)

ciąg z lewej dąży do 0 podobnie jak ten po prawej naszego wyjściowego ciągu, wiec ciąg pierwszy też dąży do zera.

dobrze ?

niestety nie jest to poprawne rozwiązanie :

po pierwsze szacowanie idzie odwrotnie:) tzn.\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n} }\geqslant \sqrt[n]{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}+\frac{1}{n^{4}}} qslant \sqrt[n]{ \frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{4}} }}\)
i co najważniejsze \(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n} }}\) i \(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{4}} }}\) nie dążą do 0 tylko do 1

tak więc szukaną granicą jest 1

Wykaż to ze dąza do 1 jak mozesz

Granice po lewej i prawej stronie są równe 1 a nie 0.

juz widze ale trzeba to jakos pokazać!

1.\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n} }=\sqrt[n]{4} \frac{ 1}{\sqrt[n]{n}}}\)

ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{ n \ to } \sqrt[n]{a}=1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{ n \ to } \sqrt[n]{n}=1}\)
to \(\displaystyle{ \lim_{ n \ to } \sqrt[n]{4} \frac{ 1}{\sqrt[n]{n}}=1}\)

2. \(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4} }=\sqrt[n]{4} (\frac{ 1}{\sqrt[n]{n}})^4}\) i dalej analogicznie jak w 1.