Matematyka.pl

*Kasia pisze:Zadanie 1
Na paraboli \(\displaystyle{ x^{2}=2y}\) znaleźć punkt, którego odległość od punktu A(1,1) jest najmniejsza.

Rozwiązanie:

Zdefiniujmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) jako odległość punktu należącego do paraboli, mającego odciętą równą x od punktu A(1,1). Współrzędne tego punktu to \(\displaystyle{ (x; \frac{x^2}{2})}\).
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{(x-1)^2+(\frac{x^2-2}{2})^2}}\)
Funkcja f(x) osiąga minimum wtedy, gdy minimum osiąga funkcja \(\displaystyle{ g(x)=(x-1)^2+(\frac{x^2-2}{2})^2=\frac{x^4}{4}-2x+2}\) (funkcja ta przyjmuje zawsze wartości nieujemne).
Pochodna funkcji g(x):
\(\displaystyle{ g'(x)=(\frac{x^4}{4}-2x+2)'=(\frac{x^4}{4})'-(2x)'+(2)'=\frac{(x^4)'\cdot 4+(x^4)\cdot (4)'}{4^2}-2=\frac{16x^3+0}{16}-2=x^3-2}\)
Funkcja ta osiąga miejsce zerowe i zmianę znaku z ujemnego na dodatni w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) takim, że:
\(\displaystyle{ x_0^3-2=0\\
x_0=\sqrt[3]{2}}\)
W tym samym punkcie funkcja f(x) osiąga minimum.
Czyli szukany punkt na paraboli ma współrzędne \(\displaystyle{ (\sqrt[3]{2};\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}\).

Odpowiedź: Punkt należący do paraboli \(\displaystyle{ x^2=2y}\), którego odległość od punktu \(\displaystyle{ A(1,1)}\) jest możliwie najmniejsza ma współrzędne \(\displaystyle{ (\sqrt[3]{2};\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}\)