Matematyka.pl

4.5.2 próbuję uprościć coś takiego \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+xy-y-y^{2}}{x^{2}-2x+xy-y^{2}} = \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x(y-1-y)+x^{2}}{x(x-2+y)-y^{2}} = ...}\)

Nic nie upraszczaj.
Spróbuj zbiec do (0,0) po dwóch ciągach, na przykład takich:
\(\displaystyle{ (x_n,y_n)=(\frac1n,\frac1n)}\)
oraz
\(\displaystyle{ (x'_n,y'_n)=(\frac1n,-\frac1n)}\)
Otrzymasz (łatwy rachunek)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)=\lim_{n\to\infty}(x'_n,y'_n)=(0,0)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{x_n^2+x_ny_n-y_n-y_n^2}{x_n^2-2x_n+x_ny_n-y_n^2}=\frac12}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\left( x'_n\right)^2+\left( x'_n\right)\left( y'_n\right)-\left( y'_n\right)-\left( y'_n\right)^2}{\left( x'_n\right)^2-2\left( x'_n\right)+\left( x'_n\right)\left( y'_n\right)-\left( y'_n\right)^2}=-\frac12}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \frac12\ne-\frac12}\).
Wynika stąd, że rozważana funkcja nie ma granicy w \(\displaystyle{ (0,0)}\).

nie miałem do czynienia do tej pory z granicami z funkcji DWÓCH zmiennych.
czy mógłbyś mi wyjaśnić trzy pierwsze linijki TEXa, którego napisałeś?
pozdrawiam

Mówiąc łopatologicznie szukasz takich ciągów, które w tym przypadku będą zbieżne do 0. Jakie ciągi? Takie dla których granice wyjdą inne i będziesz miał wystarczający dowód, aby udowodnić, że granicy nie ma. Jeśli dla wielu przykładu różnych ciągów granice będą takie same, to zazwyczaj oznacza to ,ze granica istnieje i wtedy trzeba kombinowac inaczej.

w odpowiedziach podano, że granica istnieje i wynosi \(\displaystyle{ -1}\)
pozdrawiam

Bez wątpienia jest to błędna odpowiedź (albo błędne zadanie do dobrej odpowiedzi - nie wiadomo, gdzie jest literówka). I być może jest to Twoja literówka: w pierwszym Twoim poście popatrz na to, co jest przed i za znakiem równości. Czy to faktycznie są równe rzeczy?

racja, to ja źle przepisałem, sorry
4.5.2 \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{x^2+xy-y+y^{2}}{x^{2}-2x+xy-y^{2}}}\)

W takim razie upieram się przy swoim - brak granicy.

dodałem jeszcze jedną poprawkę tym razem więcej nie będzie
pozdrawiam

Ta poprawka wszystko zmienia. W punkcie (1,0) granica faktycznie istnieje i jest równa
\(\displaystyle{ \frac{1^2+1\cdot0-0+0^2}{1^2-2\cdot1+1\cdot0-0^2}=-1}\)