najmniejsza odległość punktu od wykresu

[rObO87]

Dana jest funcja:
\(\displaystyle{ y=\sqrt{x}}\)
oraz punkt A(2,0). Oblicz najmniejszą odległość punktu A od wykresu.
Jak się za to zabrać? (poziom LO)

[olazola]

Na pewno to zadanie da się zrobić korzystając z pochodnych a dokładniej mówiąc z pochodnej funkcji złożonej. Umieściłeś to w dziale funkcja kwadratowa, więc nie wim co o tym myśleć.

[Tomasz Rużycki]

A(2,0)

Oznaczmy punkt należący do wykresu f-cji jako B(x,f(x)).

Mamy \(\displaystyle{ B(x,\sqrt{x})}\)

Wzór na odległość w \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^2}\): \(\displaystyle{ d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}\)

Wstawiając nasze dane do powyższego wzoru dostajemy:

\(\displaystyle{ d^2=x^2-3x+4}\), oczywiście musi być \(\displaystyle{ d\geq 0}\)

Liczysz sobie minimum powyższego trójmianu, wyciągasz pierwiastek i dostajesz \(\displaystyle{ d=\frac{\sqrt{7}}{2}}\).


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki