Matematyka.pl

Sylwek pisze:Mamy parabolę określoną wzorem:
\(\displaystyle{ y=\frac{x^2}{2}}\)

Oraz okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ A(1,1)}\), który ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą:
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=r^2}\)

Podstawiamy y z równania paraboli do równania okręgu:
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(\frac{x^2}{2}-1)^2-r^2=0 \\ x^2-2x+1+\frac{x^4}{4}-x^2+1-r^2=0 \\ \frac{x^4}{4}-2x+2-r^2=0 \\ x^4-8x+8-4r^2=0}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ o(x)=x^4-8x+8-4r^2=0}\). Obliczmy \(\displaystyle{ o'(x)}\):
\(\displaystyle{ o'(x)=4x^3-8}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ o'(x)}\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie, to funkcja \(\displaystyle{ o(x)}\) posiada minimum globalne w punkcie, w którym:
\(\displaystyle{ o'(x)=0 \\ 4x^3-8=0 \\ x^3=2 \\ x=\sqrt[3]{2}}\)

A zatem:
\(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt[3]{2}^2}{2}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}\)

Odpowiedź: Ten punkt to: \(\displaystyle{ B(\sqrt[3]{2}, \frac{\sqrt[3]{4}}{2})}\)

Sylwek pisze:Oraz okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ A(1,1)}\), który ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą:
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=r^2}\)