Matematyka.pl

Mam takie pytanie: mamy przykładowo całkę \(\displaystyle{ \int_{x^2}^{x^4}f(t)dt}\), i gdy chcemy ją obliczyć musimy rozbić ją na dwie, i tu tkwi moje pytanie, od czego zależy wybór nowej dolnej granicy całkowania ? czy zawsze jest dowolny ? czy zależy od funkcji f(t), a może od przedziału na którym jest określona?

O ile mi wiadomo granice całkowania określają odkąd dokąd całkujemy f(t), nie bardzo rozumiem jak wyobrażasz sobie dowolność dolnej granicy.
Przykładowo rozważ różnicę pomiędzy :

\(\displaystyle{ \int_0^{\frac{\Pi}{2}} sin(t) dt}\)

a

\(\displaystyle{ \int_{-\frac{\Pi}{2}}^{\frac{\Pi}{2}} sin(t) dt}\)

Granica całkowania jest więc istotna.
Czy dolny przedział zależy od f(t) - wiesz no dobieranie takich granic całkowania, w których funkcja nie istnieje, trochę mija się z celem - np po co całkować funkcję \(\displaystyle{ f(x) = log_{10}(x)}\) od -19 czy -7 ? Niemniej nie jest to imo jakieś wykroczenie, po prostu zawęzisz se rozpatrywany przedział samemu. Jednak sama funkcja nie narzuca ci odkąd dokąd wolno ją całkować.

jeżeli chodzi o coś takiego: \(\displaystyle{ \int_{x^2}^{x^4}f(t)dt=\int_{x^2}^{1}f(t)dt+\int_{1}^{x^4}f(t)dt}\), to właściwie powinieneś zadbać jedynie o to, by pomocniczy punkt należał do dziedziny funkcji (zakładamy, że jest całkowalna w dziedzinie).