Trzy proste granice

[Vermax]

\(\displaystyle{ 1. \lim_{x \to 0} \frac{x^{-1}}{cotx}}\)
\(\displaystyle{ 2. \lim_{ x\to 1} (1-x)tg\frac{\pi}{2}x}\)
\(\displaystyle{ 3. \lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}}}\)

Z góry dziękuję...

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x^{-1}}{cotx} =
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{cotx} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=H=
\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{x^2}}{- \frac{1} {sin^2x}} =
\lim_{x \to 0} \frac{sin^2x}{x^2} =
\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x}\cdot \frac{sinx}{x} =1\cdot 1=1}\)

2.x jest przy tangensie czy oddzielnie??

3.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}} =
\lim_{x \to 1} e^{lnx}^{\frac{1}{1-x}} =
\lim_{x \to 1} e^{\frac{lnx}{1-x}} =
e^{\lim_{x \to 1} \frac{lnx}{1-x}} = \circ\\
\lim_{x \to 1} \frac{lnx}{1-x}=H=
\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{-1}=
-\lim_{x \to 1} \frac{1}{x}=-1\\
\circ=e^{-1}\)


POZDRO

[Vermax]

Ah ok, wielkie dzięki Soku11.
Rozwiązanie pierwszej wymyśliłem dziś rano
Co do tej drugiej, to nie mam pojęcia, wiem tylko, że wynik to \(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}}\)

Czy jak masz \(\displaystyle{ \lim_{x \to y} e^{z}}\) to zawsze:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to y} e^{z}=e^\lim_{x \to y} z}\) ?

[soku11]

No tak mozna zrobic, bo to nie zmienia granicy. Nad drugim pomysle. POZDRO

[Lorek]

\(\displaystyle{ (1-x)\tan \frac{\pi}{2}x=(1-x)\cot ft[\frac{\pi}{2}(1-x)\right]=\frac{\frac{\pi}{2}(1-x)}{\sin \frac{\pi}{2}(1-x)}\cdot \cos \frac{\pi}{2}(1-x)\cdot \frac{2}{\pi}\to\frac{2}{\pi}}\)

[Vermax]

Hmm Lorek czegoś tu nie rozumiem niestety :/
Pierwsza niejasność to zamiana tangens na cotangens, potem, jak podstawisz do ostatniego wyrażenia za x, 1, to otrzymasz 0/0 (więc trzeba teraz pochodne obliczać, tak?) , a i granica równa się 2/pi czy dąży do 2/pi ?

[Lorek]

Pierwsza niejasność to zamiana tangens na cotangens

A wzory redukcyjne znasz?

potem, jak podstawisz do ostatniego wyrażenia za x, 1, to otrzymasz 0/0

Jest taka granica
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}\)
w tym przykładzie jest pewna jej odmiana

i granica równa się 2/pi czy dąży do 2/pi ?

Granica do niczego nie dąży, granica jest liczbą. Ja dałem znaczek dążenia, bo nie pisałem limesów

[Vermax]

Ahh ok, teraz to widzę. Dziękuję