Matematyka.pl

Wykaż, że dla każdych liczb naturalnych n, m:
a) \(\displaystyle{ 30|mn(m^{4} - n^{4})}\)
b) \(\displaystyle{ 42|n^{7} - n}\)
c) jeśli n jest liczbą nieparzystą, to \(\displaystyle{ 8|n^{2} - 1}\)

ad c)
Lemat
\(\displaystyle{ 2|n^2+n}\)
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) , oczywiste
Z:Dla \(\displaystyle{ n=k}\)
\(\displaystyle{ k^2+k=2s}\)
T:Dla\(\displaystyle{ n=k+1}\)
\(\displaystyle{ (k+1)^2+(k+1)=k^2+2k+1+k+1=k^2+k+2k+2=2s+2k+2=2(s+k+2)=2t}\)
c.n.d

\(\displaystyle{ n=2k+1\Rightarrow 8|n^2-1}\)
Rozwazmy:
\(\displaystyle{ n^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k+1-1=4(k^2+k)=8l}\)

c)
\(\displaystyle{ n^2-1=(n-1)(n+1)}\)
Skoro n jest nieparzyste to n-1 i n+1 są to dwie kolejne liczby parzyste. Pośród dwóch kolejnych liczb parzystych jedna jest podzielna przez 4, a druga skoro jest parzyste to podzielna przez 2. Zatem (n-1)(n+1) jako iloczyn liczb podzielnych przez 2 i 4 jest podzielne przez 8.

Dziękuję ślicznie za odpowiedz. Pozdrawiam:)