Udowodnij nierówność dla dowolnego trójkąta

[brolly]

ma ktos pomysl na udowodnienie nierownosci

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 > 1/2 * c^2}\)

gdzie a, b, c boki trojkata

ja probowalem tak:

1) zalozenie ze c jest najdluzszym bokiem i nierownosc trojkata podniesc do kwadratu wtedy zostaje tylko udowodnic ze \(\displaystyle{ 1/2 c^2 > 2ab}\)

2) rozpatrzylem twierdzenie cosinusow (na bok c) dla trojkata ostrokatnego i rozwartokatnego co doprowadzilo mnie do ukladu 3 nierownosci ale nijak nie moglem stamtad przejsc do tej nierownosci ktos ma pomysl ?

[Zlodiej]

A może jednak idzie z tw. cosinusów ?

Zauważmy, że \(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}\Longleftrightarrow a^2+b^2=c^2+2ab\cos{\gamma}}\)

Podstawiając do głównej nierówności mamy:

\(\displaystyle{ c^2+2abcos{\gamma}>\frac{c^2}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2ab\cos{\gamma}>\frac{-c^2}{2}}\)

No, ale gdy trójkąt jest rozwartokątny \(\displaystyle{ \cos{\gamma}0}\)

Z tw. cosinusów mamy:

\(\displaystyle{ a^2+b^2+2ab\cos{\gamma}\Longleftrightarrow a^2+b^2-2ab{(\alpha+\beta)}>0}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{2}\geq ab>ab\cos{(\alpha+\beta)}}\)

C.N.D.

No, ale to mi się za proste wydaje

[Skrzypu]

Skorzystaj ze wzoru na środkową trójkąta, co prawda to ona się bierze bezpośrednio z tw. cosinusów

\(\displaystyle{ m_c=\sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ m_c>0}\)

Podstaw teraz podnieś do kwadratu i otrzymasz teze