okrąg

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Mariusz123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 15 cze 2007, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 40 razy

okrąg

Post autor: Mariusz123 » 9 lis 2007, o 18:50

Dany jest okrąg o środku O i promieniu 3. Z punktu P poprowadzono dwie styczne do tego okręgu w punktach M i N ( rysunek obok) . Wiedząc, że kąt MPN ma miarę \(\displaystyle{ 30^{o}}\), oblicz długośc cięciwy MN .

rysunek

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania
Z góry dziękuję

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

okrąg

Post autor: andkom » 9 lis 2007, o 21:28

Dorysuj sobie promienie OM i ON, i skorzystaj z tego, że styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego z punktu styczności oraz z tego, że suma kątów czworokąta PMON wynosi 360 stopni. Otrzymasz z tego, że kąt MON ma 120 stopni, czyli trójkąt MON jest trójkątem równoramiennym o ramieniu 3 i kącie między ramionami 120 stopni. Zatem \(\displaystyle{ MN=2\cdot3\cdot\sin(120^\circ/2)=3\sqrt3}\)

Mariusz123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 15 cze 2007, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 40 razy

okrąg

Post autor: Mariusz123 » 9 lis 2007, o 21:55

w odpowiedzi \(\displaystyle{ 3 \sqrt{2+\sqrt{3}}}\)

A kąt MON czasem nie ma 150 stopni ( to jest 360 - 90 - 90 -30 = 150 ) ?

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

okrąg

Post autor: andkom » 9 lis 2007, o 22:45

Słusznie. Ech, te kłopoty z odejmowaniem
Zatem \(\displaystyle{ MN=2\cdot3\cdot\sin(150^\circ/2)=6\sin75^\circ}\)

\(\displaystyle{ \sin75^\circ=\sin(150^\circ/2)=\sqrt{\frac{1-\cos150^\circ}2}=\\
=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt3}2}2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2}\)

Stąd
\(\displaystyle{ MN=6\sin75^\circ=3\sqrt{2+\sqrt3}}\)

Mariusz123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 15 cze 2007, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 40 razy

okrąg

Post autor: Mariusz123 » 10 lis 2007, o 16:36

Dzięki twoim wskazówkom policzyłem z twierdzenia cosinusów i wyszedł mi dobry wynik.
A co do twojego rozwiązania to powiedz mi
andkom pisze:
Zatem \(\displaystyle{ MN=2\cdot3\cdot\sin(150^\circ/2)=6\sin75^\circ}\)
Z czego tutaj skorzystałeś ? z jakiego wzoru ?
andkom pisze:
\(\displaystyle{ =\sin(150^\circ/2)=\sqrt{\frac{1-\cos150^\circ}2}=}\)
A tutaj jaki wzór zastosowałeś ? skąd pojawił się ten pierwiastek ?

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

okrąg

Post autor: andkom » 10 lis 2007, o 18:38

W pierwszym przypadku:
Dorysowałem naszemu trójkątowi równoramiennemu wysokość i skorzystałem z tego, że jej spodek dzieli podstawę na dwie równe części oraz z tego, że wysokość ta jest zawarta w dwusiecznej kąta między ramionami.

W drugim przypadku:
Skorzystałem ze wzoru
\(\displaystyle{ \left(\sin\frac{\alpha}2\right)^2=\frac{1-\cos\alpha}2}\)

Mariusz123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 15 cze 2007, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 40 razy

okrąg

Post autor: Mariusz123 » 10 lis 2007, o 20:27

andkom pisze:W pierwszym przypadku:
Dorysowałem naszemu trójkątowi równoramiennemu wysokość i skorzystałem z tego, że jej spodek dzieli podstawę na dwie równe części oraz z tego, że wysokość ta jest zawarta w dwusiecznej kąta między ramionami.
nie bardzo rozumiem jak to ma się do tego wzoru \(\displaystyle{ MN=2\cdot3\cdot\sin(150^\circ/2)=6\sin75^\circ}\) mógłbyś to szerzej wytłumaczyć ?
\(\displaystyle{ 3}\) to jest bok trójkata i zarazem promień koła , \(\displaystyle{ sin ^\circ 75}\) kat między wysokoscią, a bokiem OM , a \(\displaystyle{ 2}\) że jest połową tego trójkata MON ?
Może jest w takim przypadku ogólny wzór lub jakaś definicja ?
Mógłbyś wyjaśnić ?

ODPOWIEDZ