Matematyka.pl

Jak wykazać, że warunek:

\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+sin^{2}\beta+sin^{2}\gamma=2}\)

nie jest spełniony dla trójkąta ostrokątnego?

\(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\)są to kąty wewnętrzne trójkąta.

Po przeszkształceniach otrzymujemy np. z twierdzenia sinusów:

\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}}\)

a,b,c boki trójkąta, leżące odpowiednio naprzeciw kątów \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma,}\), a R, to promień koła opisanego na trójkącie.

w trójkącie ostrokątnym
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}>c^{2} \\ a^{2}+b^{2}+c^2>2c^{2} \\ 8R^{2}>2c^{2} \\ 4R^{2}>c^{2} \\ 2R>c}\)
czyli w sumie żadna nowość, w trójkącie rozwartokątnym i ostrokątnyn 2R>c... tylko w prostokątnym 2R=c, ale z twierdzenia Pitagorasa wynika, że równanie działa.

Z twierdzenia Pitagorasa nie wynika ani dowód ani potwierdzenie założenia.

Poprawiłem zapis - w Texu nie stosujemy Entera do zejścia linię niżej. Poza tym zwróciłem honor Pitagorasowi .

Załóżmy, że mamy trójkąt prostokątny o kącie gamma prostym. Wtedy związek między kątami wygląda następująco:

\(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha + \sin^{2}\beta + 1 = 2 \\ \sin^{2}\alpha + \sin^{2}\beta = 1 \\ \sin^{2}\alpha + \sin^{2}(90^{o}-\alpha)=1 \\ \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1}\)
Co niewątpliwie jest prawdą dla wszystkich kątów.


Ale teraz musimy rozpatrzyć pierwotny związek dla trójkąta ostrokątnego.

Mamy więc na pewno:
\(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha < 1 \\ \sin^{2}\beta < 1 \\ \sin^{2}\gamma < 1}\)

I tak się tu zwiesiłem na dwie godziny, bo jakoś nie potrafię zawrzeć myśli matematycznymi symbolami. Może ktoś to ładnie skończy?

https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=4755

Wzór działa tylko dla trójkątów prostokątnych.