Matematyka.pl

Ostatnio (bo wczoraj) dowiedziałem się od jednego z forumowiczów, że współczynnik przy przedostatnim wyrazie sumy utworzonej po rozwinięciu wyrażenia \(\displaystyle{ (n+1)^{k}}\) jest równy wykładnikowi \(\displaystyle{ k}\). Sprawdziłem to z ciekawości dla kilku sytuacji i faktycznie:

\(\displaystyle{ (n+1)^{5}=n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n+1}\)
\(\displaystyle{ (n+1)^{4}=n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1}\)
\(\displaystyle{ (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1}}\)

Oczywiście również \(\displaystyle{ (n+1)^{1}=1*n+1}\)
Sprawdziłem jeszcze dla innych potęg i pytam czy jest to jakieś udowodnione twierdzenie matematyczne (bo zdroworozsądkowo faktycznie jest to pewna zasada)...

Jest to powszechnie wiadome, a wynika bezpośrednio z dwumianu Newtona:
\(\displaystyle{ (a+b)^n=\sum_{i=0}^{n} {n\choose i}a^ib^{n-i}}\)