Matematyka.pl

Dane są: \(\displaystyle{ a,b,c,d,n Z}\); takie, że:
\(\displaystyle{ n|ad-bc;}\)
\(\displaystyle{ n|a-b;}\)
\(\displaystyle{ (b,n)=1}\).

Pokaż, że
\(\displaystyle{ n|c-d}\).

- - - - - - - - - - - - - - - - -

Z warunków zadania mamy, że:
\(\displaystyle{ a=k _{1}*n+b}\)
\(\displaystyle{ bc=ad-k _{2}*n}\)

Po przekształceniach dochodzimy do postaci:

\(\displaystyle{ c-d= \frac{n*(k _{1}-k _{2}) }{b} (*)}\)

Jeśli n dzieli c-d, to znaczy oczywiście, że istnieje jakieś k3*n=c-d... tylko jak to tego teraz dojść? Jak skorzystać z informacji, że b i n są względnie pierwsze? Biorę pod uwagę możliwość, że mój sposób rozwiązania nie jest odpowiedni do tego zadania... (?)

Moje rozwiązanie jest następujące

\(\displaystyle{ n|ad-bc}\) (1)
\(\displaystyle{ n|a-b n|ad-bd}\) (2)

z (1) i (2) wynika że \(\displaystyle{ n|(ad-bd)-(ad-bc)=b(c-d)}\)

czyli \(\displaystyle{ n|b(c-d)}\)
z tego i z tego że \(\displaystyle{ (b,n)=1}\) wynika że \(\displaystyle{ n|c-d}\) c.n.u.

Dzięki. Rozświeltiła mi się pewna oczywista sprawa...

Kontynuując mój zapis:

\(\displaystyle{ (*)}\)

\(\displaystyle{ c-d=\frac{n(k _{1}-k _{2})}{b} b(c-d)=n(k _{1}-k _{2})}\)

Oznacza to, że \(\displaystyle{ n}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ b(c-d)}\). Ponieważ jednak \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ b}\)są względnie pierwsze wiemy, że\(\displaystyle{ n}\) nie dzieli \(\displaystyle{ b}\) więc musi dzielić drugi czynnik a zatem \(\displaystyle{ (c-d)}\). Stąd:

\(\displaystyle{ n|c-d}\) cdbo