Matematyka.pl

Punkt na osi liczbowej wykonuje losowo ruch o jednostkę w prawo z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i o jednostkę w lewo z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że po sześciu ruchach punkt znajdzie sie w położeniu początkowym.

Prosze o pomoc.
Pozdrawiam.

Interesuje nas sytuacja, gdy punkt ruszy się 3 razy w prawo i 3 razy w lewo.
Prawdopodobieństwo pojedyńczego takiego układu wynosi \(\displaystyle{ P_1 = (\frac{1}{3})^3 * (\frac{2}{3})^3 = \frac{1}{27}*\frac{8}{27} = \frac{8}{729}}\)
Układów takich jest dokładnie \(\displaystyle{ {6\choose 3} = \frac{6*5*4}{3*2} = 20}\)
Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ P = 20P_1 = \frac{160}{729}}\)

wielkie dzięki!