Matematyka.pl

Bardzo prosze o pomoc z nastepujacym zadaniem.
Wykorzystujac twierdzenie o ciagu monotonicznym i ograniczonym zbadac zbieznosc ciagu

\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}}\)

\(\displaystyle{ 1= \sum_{k=1}^n\frac{1}{n} > \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} > \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+n} = \frac{1}{2} \\}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n = \frac{1}{2n+2} + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} >0 \\}\)
:

\(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n} = \frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n+2} - (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} = \frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{4}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})(n+1)}}\)

Czyli ciąg rosnący.

\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n} qslant \frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n} = n\frac{1}{n} = 1}\)

Czyli ciąg ograniczony z góry przez 1, a dołu przez pierwszy wyraz. Czyli monotoniczny i ograniczony a zatem zbieżny.