Matematyka.pl

Rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ z^{11}=\overline{z}}\)

Skorzystaj z postaci wykładniczej: \(\displaystyle{ z=|z|e^{i\varphi}}\).

\(\displaystyle{ z^{11}=|z|^{11}e^{11i\varphi}}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}=|z|e^{-i\varphi}}\)

i z tego doszedłem do:
\(\displaystyle{ e^{12i\varphi}=\frac{1}{|z|^{10}}}\)

co dalej?

Ja bym zapisał:
\(\displaystyle{ |z|^{10}e^{12i\varphi}=1=1e^{0}}\)
Z tego wniosek, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
|z|^{10}=1, \ |z|=1 \\
12\varphi=2\pi k, k \mathbb{N}, \ \varphi=\frac{\pi k}{6}, \ k \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}
\end{cases}}\)
Wynika to z porównania części rzeczywistych i zespolonych. Punkt pierwszy myślę, że jest jasny. Natomiast punkt drugi wynika z tego, że dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ e^{2\pi n}=1}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \varphi e^{\frac{i\pi}{6}}, e^{\frac{2i\pi}{6}}, ... , e^{\frac{10i\pi}{6}}, e^{\frac{11i\pi}{6}}}\).

[ Dodano: 30 Października 2007, 18:25 ]
Jeszcze dochodzi \(\displaystyle{ z=0}\) Pozdrowienia dla Lorka .