Matematyka.pl

*Kasia pisze:Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) dwa pierwiastki równania
\(\displaystyle{ \frac{2x-1}{x-1}-\frac{x+1}{2x+1}+m=0}\)
mają różne znaki?

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \frac{2x-1}{x-1}-\frac{x+1}{2x+1}+m=0\qquad x\in\mathbb{R}-\{-0,5;1\}\\
\frac{2(x-1)+1}{x-1}-\frac{2x+1-x}{2x+1}+m=0\\
2+\frac{1}{x-1}-1+\frac{x}{2x+1}+m=0\\
1+\frac{1}{x-1}+\frac{x}{2x+1}+m=0\\
\frac{(x-1)(2x+1)+(2x+1)+x(x-1)+m(2x+1)(x-1)}{(2x+1)(x-1)}=0}\)
Aby ułamek był równy 0, licznik musi byc równy 0:
\(\displaystyle{ (x-1)(2x+1)+(2x+1)+x(x-1)+m(2x+1)(x-1)=0\\
3x^2+2mx^2-mx-m=0\\
x^2(3+2m)+x(-m)-m=0}\)
Aby równanie miało dwa pierwiastki różnych znaków:
\(\displaystyle{ 3+2m\neq 0\qquad m\neq -1,5\\
\\
\Delta>0\\
x_1\cdot x_20\\
-(3+2m)\cdot m0}\)
Jeśli drugie równanie jest prawdziwe, to pierwsze tym bardziej. Zatem:
\(\displaystyle{ 3m+2m^2>0\\
m(3+2m)>0\\
m(2\cdot(1,5+m))>0\\
m(1,5+m)>0\\
m\in(-\infty;-1,5)\vee (0;+\infty)}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ m\in(-\infty;-1,5)\vee (0;+\infty)}\).