funkcja ciągła

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
22081987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 28 paź 2007, o 12:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podlasie

funkcja ciągła

Post autor: 22081987 » 28 paź 2007, o 12:29

Wykaz że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f:R^{2}\to R}\) która jest ciągła jako funkcja zmiennej \(\displaystyle{ x_{1}}\) i jest ciagła jako funcja zmiennej \(\displaystyle{ x_{2}}\) oraz jest monotoniczna jako funkcja zmiennej \(\displaystyle{ x_{1}}\) jest ciągła.
Ostatnio zmieniony 17 kwie 2016, o 20:58 przez AiDi, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .Temat umieszczony w złym dziale.

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

funkcja ciągła

Post autor: Spektralny » 17 kwie 2016, o 19:05

Bez straty ogólności załóżmy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca ze względu na pierwszą zmienną. W przecienym wypadku rozważmy funkcję do niej przeciwną.

Niech \(\displaystyle{ (x_0, y_0)\in \mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\). Wówczas istnieją takie liczby \(\displaystyle{ \delta, \delta_1, \delta_2>0}\), że dla \(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R}}\) mamy
  • \(\displaystyle{ |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x,y_0)-f(x_0, y_0)|<\varepsilon/2,}\)
  • \(\displaystyle{ |y-y_0|<\delta_1 \Rightarrow |f(x_0+\delta,y)-f(x_0+\delta, y_0)|<\varepsilon/2,}\)
  • \(\displaystyle{ |y-y_0|<\delta_2 \Rightarrow |f(x_0-\delta,y)-f(x_0-\delta, y_0)|<\varepsilon/2.}\)
Niech \(\displaystyle{ \delta^*=\min\{\delta_1, \delta_2\}}\). Ustalmy dowolny punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\) w prostokącie \(\displaystyle{ [x_0-\delta, x_0+\delta]\times [y_0-\delta^*, y_0+\delta^*]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca ze względu na pierwszą zmienną, mamy
  • \(\displaystyle{ [f(x_0-\delta,y_0)-f(x_0-\delta, y)] + [f(x_0-\delta, y) - f(x_0, y_0)] \leqslant f(x,y)- f(x_0, y_0)}\)
oraz
  • \(\displaystyle{ f(x,y)- f(x_0, y_0) \leqslant [f(x_0+\delta,y_0)-f(x_0+\delta, y)] + [f(x_0+\delta, y) - f(x_0, y_0)],}\)
co daje łącznie
  • \(\displaystyle{ -\varepsilon/2 - \varepsilon/2 < f(x,y)- f(x_0, y_0)< \varepsilon /2 + \varepsilon /2}\)
czyli \(\displaystyle{ |f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon}\), co dowodzi ciągłości. \(\displaystyle{ \square}\)

ODPOWIEDZ