objetosc czworoscianu w 3D

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
invx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 8 paź 2006, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: XYZ
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 1 raz

objetosc czworoscianu w 3D

Post autor: invx » 27 paź 2007, o 22:39

dany jest czworoscian o wierzchołkach
A (1,2,2)
B (0,3,1)
C (1,1,1)
D (4,2,5)

obliczyc jego objetosc.

zrobilem tak:

- narysowalem
- policzylem dl wektorow tworzacych podstawe
- wyszlo ze podstawa to trojkat rownoramienny √2 √2 i √3 - policzylem jego h z pitagorasa - potem pole - wyszlo √5/2
- potem rownanie plaszczyzny zawierajacej w sobie podstawe (by miec wspolczynniki do policzenia odl. wierzcholka od plaszczyzny) - policzylem odleglosc wierzcholka od podstawy - wyszlo: √6/3
- no i policzylem objetosc - wyszlo: √30/18

pytanie - czy mozna bylo prosciej - i czy sie nie pomylilem
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

objetosc czworoscianu w 3D

Post autor: andkom » 27 paź 2007, o 22:53

Można było obliczyć współrzędne wektorów
\(\displaystyle{ \vec{AB}=(-1,1,-1)\\
\vec{AC}=(0,-1,-1)\\
\vec{AD}=(3,0,3)}\)

i policzyć jedną szóstą modułu wyznacznika macierzy, której wierszami są te właśnie wektory
\(\displaystyle{ V=\frac16\left|\det\begin{pmatrix}-1&1&-1\\0&-1&-1\\3&0&3\end{pmatrix}\right|
=\frac16|3-3+0-3-0-0|=\frac12}\)

invx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 8 paź 2006, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: XYZ
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 1 raz

objetosc czworoscianu w 3D

Post autor: invx » 27 paź 2007, o 23:05

no to przyszalalem

iloczyn mieszany - myslalem o tym ale zgubilo mnie ze czworoscian to jest ...
jak doszedles zeby 1/6 wziac ?

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

objetosc czworoscianu w 3D

Post autor: andkom » 27 paź 2007, o 23:07

Bez 1/6 mielibyśmy objętość równoległościanu rozpiętego przez wektory (a nie czworościanu).
Twoja metoda jest o tyle dobra, że nie wymaga nic tak skomplikowanego, jak wyznaczniki itd.

invx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 8 paź 2006, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: XYZ
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 1 raz

objetosc czworoscianu w 3D

Post autor: invx » 27 paź 2007, o 23:15

no wiem ze bez 1/6 to by byl rownolegloscian

ale jak doszedles ze to ma byc 1/6 - a nie np. 1/3 ?

bo ostroslupa V=1/3*Pp*h

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

objetosc czworoscianu w 3D

Post autor: andkom » 27 paź 2007, o 23:28

Rozważ wektory (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0) i rozpięte przez te wektory czworościan i równoległościan (sześcian). Okaże się, że ta brakująca 1/2 to 1/2 z pola podstawy czworościanu (która to podstawa jest trójkątem).

invx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 8 paź 2006, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: XYZ
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 1 raz

objetosc czworoscianu w 3D

Post autor: invx » 28 paź 2007, o 19:48

mam dwa wektory - mnoze je wektorowo - dostaje np.:

3i, 2j, 3K - czyli wektor u=[3,2,3]

ale iloczyn wektorowy ma mi dac pole rownolegloboku - to jak z [3,2,3] przejsc do pola ?

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

objetosc czworoscianu w 3D

Post autor: andkom » 28 paź 2007, o 19:52

Trzeba policzyć normę tego wektora (iloczynu wektorowego), np. \(\displaystyle{ \|(3,2,3)\|=\sqrt{3^2+2^2+3^2}}\)

invx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 8 paź 2006, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: XYZ
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 1 raz

objetosc czworoscianu w 3D

Post autor: invx » 28 paź 2007, o 20:26

dzieki

Teraz mam napisać równanie płaszczyzny rownoległej do osi Ox i przechodzacej przez punkty:
- A(2,4,5)
- B(0,1,3)

wymyslilem taki sposob:

utwoze wektor AB[-2,-3,-2] pomnoze go wektorowo przez wersor osi Ox=[1,0,0] i dostane wektor prostopadly do szukanej plaszczyzny - czyli v=[0,-2,3]

no i ostatecznie rownanie plaszczyzny:

0x-2y+3z+7=0


dobrze zrobilem ? mozna bylo inaczej ?

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

objetosc czworoscianu w 3D

Post autor: andkom » 28 paź 2007, o 22:28

Prawie dobrze. Powinno być
0x-2y+3z-7=0 (lub 0x-2y+3z=7)
Rozwiązanie zręczne i krótkie. Inaczej zapewne można było, ale nie sądzę, by inaczej było krócej.

ODPOWIEDZ