żS-5, od: Szemek, zadanie 3

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-5, od: Szemek, zadanie 3

Post autor: Liga » 27 paź 2007, o 21:21

Szemek pisze:Rozwiązuję układ, aby wyznaczyć punkty przecięcia krzywych
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+2y^2=24 \\ x^2-2y^2=8 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+2y^2=24 \\ x^2-8=2y^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+(x^2-8)=24 \\ 2y^2=x^2-8 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^2-32=0 \\ 2y^2=x^2-8 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2(x^2-16)=0 \\ 2y^2=x^2-8 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2(x-4)(x+4)=0 \\ 2y^2=x^2-8 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-4 \\ 2y^2=x^2-8 \end{cases} \begin{cases} x=4 \\ 2y^2=x^2-8 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-4 \\ y^2=\frac{(-4)^2-8}{2} \end{cases} \begin{cases} x=4 \\ y^2=\frac{4^2-8}{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-4 \\ y^2=4\end{cases} \begin{cases} x=4 \\ y^2=4 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-4 \\ y=-2\end{cases} \begin{cases} x=-4 \\ y=2\end{cases} \begin{cases} x=4 \\ y=2 \end{cases} \begin{cases} x=4 \\ y=-2 \end{cases}}\)
Niech punkty przecięcia krzywych będą wierzchołkami prostokąta ABCD
Wierzchołki prostokąta \(\displaystyle{ A(-4,-2), \ B(-4,2), \ C(4,2), \ D(4,-2)}\)
wyznaczam równanie prostej AC
\(\displaystyle{ AC: (y_C-y_A)(x-x_A)-(x_C-x_A)(y-y_A) = 0}\)
\(\displaystyle{ AC: 4(x+4)-8(y+2)=0}\)
\(\displaystyle{ AC: 4x+16-8y-16=0}\)
\(\displaystyle{ AC: 4x-8y=0}\)
\(\displaystyle{ AC: x-2y=0}\)
wyznaczam równanie prostej BD
\(\displaystyle{ BD: (y_D-y_B)(x-x_B)-(x_D-x_B)(y-y_B) = 0}\)
\(\displaystyle{ BD: -4(x+4)-8(y-2)=0}\)
\(\displaystyle{ BD: -4x-16-8y+16=0}\)
\(\displaystyle{ BD: -4x-8y=0}\)
\(\displaystyle{ BD: x+2y=0}\)

Cosinus kąta między prostymi obliczę ze wzoru:
\(\displaystyle{ \cos \varphi=\frac{A_1 A_2+B_1 B_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}}}\) dla prostych o równaniach \(\displaystyle{ \begin{cases} A_1 x+B_1 y+C_1=0 \\ A_2 x+B_2 y+C_2=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ AC: x-2y=0 A_1=1, \ B_1=-2}\)
\(\displaystyle{ BD: x+2y=0 A_2=1, \ B_2=2}\)

\(\displaystyle{ \cos \varphi=\frac{1 1+ (-2) 2}{\sqrt{1^2+(-2)^2}\sqrt{1^2+2^2}}}\)
\(\displaystyle{ \cos \varphi=\frac{-3}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}}\)
\(\displaystyle{ \cos \varphi=-\frac{3}{5}}\)
Dla \(\displaystyle{ \alpha (0,\frac{\pi}{2})}\), \(\displaystyle{ cos (0,1)}\), natomiast dla dla \(\displaystyle{ \alpha (\frac{\pi}{2},\pi)}\), \(\displaystyle{ cos (-1,0)}\)
Jako że \(\displaystyle{ \cos \varphi=-\frac{3}{5}}\), dlatego \(\displaystyle{ \varphi}\)jest kątem rozwartym, zatem kąt do niego przyległy \(\displaystyle{ 180^{\circ}-\varphi}\) jest kątem ostrym pomiędzy prostymi AC i BD
Korzystając z wzorów redukcyjnych
\(\displaystyle{ cos (180^{\circ}-\varphi)=-cos \varphi}\)
\(\displaystyle{ cos (180^{\circ}-\varphi)=\frac{3}{5}}\)

Odpowiedź: Szukaną wartością jest \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\)
Ostatnio zmieniony 29 paź 2007, o 20:54 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-5, od: Szemek, zadanie 3

Post autor: scyth » 28 paź 2007, o 20:45

można było prościej, ale jest OK, ode mnie 5/5.

ODPOWIEDZ