losowanie kart - wariacje bez powtórzeń i kombinacje.

[Owsiak]

Spostrzeglem bardzo intrygujaca rzecz. W zadaniach dotyczacych ciagniecia kart, dokladnie ten sam wynik mozna uzyskac stosujac kombinacje bez powtorzen, jak i wariacje bez powtorzen. Obczajcie taki przyklad:

z 52-karcianej talii ciagniemy 5 kart. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze wsrod nich beda dokladnie 2 asy?

1. sposob - tradycyjny:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=C^{5}_{52}={52 \choose 5}=\frac{52!}{5!47!}\\\overline{\overline{A}}=C^{2}_{4}*C^{3}_{48}={4 \choose 2}{48 \choose 3}=\frac{4!}{2!2!}*\frac{48!}{3!45!}=\frac{4!48!}{2!2!3!45!}\\P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{4!48!}{2!2!3!45!}*\frac{5!47!}{52!}=\frac{4!5!47!48!}{2!2!3!45!52!}}\)

2. sposob - z uzyciem wariacji:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=V^{5}_{52}=\frac{52!}{47!}\\\overline{\overline{A}}=V^{2}_{4}*V^{3}_{48}=\frac{4!}{2!}*\frac{48!}{45!}=\frac{4!48!}{2!45!}}\)
Ale! To jeszcze nie wszystko. Tym rownaniem obliczylismy wszystkie wariacje, ale osobno dla 2 asow i 3 pozostalych kart, co oznacza ze asy i pozostale karty musza caly czas stac na swoich miejscach (tj. asy beda zawsze zajmowac np. 1 i 2 pozycje, a pozostale karty 3, 4 i 5). Uwzglednijmy zatem, ze asy i pozostale karty moga dowolnie zmieniac polozenie. Zrobimy to mnozac wyzej otrzymany wynik przez permutacje z powtorzeniami
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=\frac{4!48!}{2!45!}*\frac{5!}{2!3!}=\frac{4!5!48!}{2!2!3!45!}}\)
I czas na wielki final:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{4!5!48!}{2!2!3!45!}*\frac{47!}{52!}=\frac{4!5!47!48!}{2!2!3!45!52!}}\)

I co wy na to?

[zom3r]

Ale to było jasne i oczywiste... jezeli konsekwentnie w każdym miejscu działania stosujesz jedną albo drugą wynik będzie identyczny.

Jeszcze w liceum mi nauczyciele powtarzali to