Granica ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
raidmaster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 20 lis 2006, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PK
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu

Post autor: raidmaster » 27 paź 2007, o 17:34

Witam. Problem z rozkminieniem granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to }(\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}} - n)}\)
Próbowałem mnożyć to przez wyrażenie sprzężone i wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to }(\frac{\sqrt[3]{(n^{3}+4n^{2})} - n^{2}}{\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}} + n})}\).
Pytanie: Co dalej? (Problem mam z tym pierwiastkiem 3 stopnia i kwadratem pod nim, jak to podzielić i przez co). Prosiłbym o jak najdokładniejsze rozpisanie, aby dało się wywnioskować co i jak. Najlepiej komentarzem słownym co robimy w poszczególnych etapach. Odpowiedź do zadania
\(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Piotrek89
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1051
Rejestracja: 8 paź 2006, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górowo Iławeckie
Pomógł: 278 razy

Granica ciągu

Post autor: Piotrek89 » 27 paź 2007, o 17:50

\(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}}}\)
\(\displaystyle{ b=n}\)

\(\displaystyle{ \frac{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}}-n=\lim_{n\to } \frac{n^{3}+4n^{2}-n^{3}}{(\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}})^{2}+n\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}}+n^{2}}=\lim_{n\to } \frac{4n^{2}}{3n^{2}}=\frac{4}{3}}\)

Awatar użytkownika
raidmaster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 20 lis 2006, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PK
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu

Post autor: raidmaster » 27 paź 2007, o 18:08

Wszystko pięknie ale nie rozumiem jak przeszedłeś z mianownika tego czegoś
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{n^{3}+4n^{2}-n^{3}}{(\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}})^{2}+n\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}}+n^{2}}}\)
do \(\displaystyle{ 3n^{2}}\)

Awatar użytkownika
Piotrek89
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1051
Rejestracja: 8 paź 2006, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górowo Iławeckie
Pomógł: 278 razy

Granica ciągu

Post autor: Piotrek89 » 27 paź 2007, o 18:19

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{n^{3}+4n^{2}-n^{3}}{(\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}})^{2}+n\sqrt[3]{n^{3}+4n^{2}}+n^{2}} =\frac{4n^{2}}{\left( \sqrt[3]{n^{3}(1+\frac{4}{n})}\right)^{2}+n\sqrt[3]{n^{3}(1+\frac{4}{n})}+n^{2}}=\lim_{n\to }\frac{4n^{2}}{n^{2}+n^{2}+n^{2}}=\frac{4}{3}}\)

ODPOWIEDZ