Uparte wyrażenie

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Viper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 24 mar 2005, o 13:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 24 razy

Uparte wyrażenie

Post autor: Viper » 27 paź 2007, o 15:36

Witam,

Nie mogę sobie poradzić z przeksztalceniem poniższego wyrażenia do najprostszej postaci. Jest to ostatnie zadanie, jakie mi zostało do rozwiązania. Pewnie dla Was będzie proste, dlatego proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ \large \frac{a^{2}(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})+b^2(\frac{1}{c}-\frac{1}{a})+c^2(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})}{\frac{a}{bc}(c-b)+\frac{b}{ca}(a-c)+\frac{c}{ab}(b-a)}}\)

Odpowiedź: a+b+c

Z góry dziękuję za pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Uparte wyrażenie

Post autor: Tristan » 27 paź 2007, o 16:06

1. Zauważ, że to co masz w liczniku to \(\displaystyle{ a^2 \frac{c-b}{bc} + b^2 \frac{ a -c}{ac} + c^2 \frac{ b-a}{ab}}\).
2. Pomnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ abc}\), a otrzymasz \(\displaystyle{ \frac{ a^3 ( c-b) + b^3 (a-c) + c^3 (b-a) }{ a^2 (c-b) +b^2 (a-c) +c^2 (b-a)}}\).
3. Teraz będą żmudne rachunki. Będziemy tak przekształcać licznik, by wydobywać z niego to wyrażenie, które mamy w mianowniku. Mamy:
\(\displaystyle{ a^3 (c-b) + b^3 (a-c) + c^3 (b-a)=a[ a^2 (c-b) + b^2 (a-c) + c^2 (b-a) ] +b^3 (a-c) + c^3 (b-a) - ab^2 (a-c) - ac^2 (b-a)=...= a[ a^2 (c-b) + b^2 (a-c) +c^2 (b-a) ]+ b [ a^2 (c-b) + b^2 (a-c) +c^2 (b-a) ] + c [ a^2 (c-b) + b^2 (a-c) +c^2 (b-a) ] - ab^2 (a-c) - ac^2 (b-a) -a^2 b(c-b) - bc^2 (b-a) - a^2 c(c-b) - b^2 c(a-c)}\)
4. Wszystkie wyrażenia z minusami się upraszaczają i ostatecznie otrzymujesz, że przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ a^2 (c-b) +b^2 (a-c) + c^2 (b-a)}\) dostajesz \(\displaystyle{ a+b+c}\).

Viper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 24 mar 2005, o 13:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 24 razy

Uparte wyrażenie

Post autor: Viper » 28 paź 2007, o 20:54

Serdecznie Ci dziękuję. Bardzo sprytnie to zrobiłeś. W odpowiedziach jest wskazówka która prowadzi drogą zupełnie na około

ODPOWIEDZ