Przechodniość, przeciwzwrotność i antysymetryczność.

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Przechodniość, przeciwzwrotność i antysymetryczność.

Post autor: Emiel Regis » 27 paź 2007, o 14:14

Należy pokazać że z przechodniości i przeciwzwrotności wynika antysymetryczność.

czyli wiemy że:
\(\displaystyle{ \sim(xRx) \\ xRy \wedge yRz => x Rz}\)
a mamy pokazać:
\(\displaystyle{ xRy \wedge yRx =>x=y}\)

Sprawdzamy prawdziwosc implikacji czyli wiemy że gdy poprzednik jest fałszywy to cała implikacja jest prawdziwa, to teraz jako drugi przypadek załóżmy sobie że poprzednik jest spełniony.
Wtedy z przechodniosci wiemy że \(\displaystyle{ xRx}\) natomiast z założen wiemy że \(\displaystyle{ \sim(xRx)}\).
I co teraz:|
W dowodzie wprost doszedłem do sprzecznosci...

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Przechodniość, przeciwzwrotność i antysymetryczność.

Post autor: Tomasz Rużycki » 27 paź 2007, o 17:24

To znaczy, ze nie mozesz wybrac roznych \(\displaystyle{ x,y}\) spelniajacych zalozenia.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Przechodniość, przeciwzwrotność i antysymetryczność.

Post autor: Emiel Regis » 27 paź 2007, o 17:34

A potrafisz jakoś sformalizować ten dowód? Dowod w cudzysłowie bo to jak widać jest prawie że natychmiastowy wniosek...

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Przechodniość, przeciwzwrotność i antysymetryczność.

Post autor: Sir George » 28 paź 2007, o 12:46

1. z przechodniości masz
\(\displaystyle{ x\mathcal{R}y\,\wedge\,y\mathcal{R}x\ \ x\mathcal{R}x\qqaud \qquad\ \qquad\ \mbox{(*)}}\)

2. z antyzwrotności wiesz, że następnik implikacji w \(\displaystyle{ \mbox{(*)}}\) jest fałszywy dla każdego \(\displaystyle{ x}\)

3. zatem dla \(\displaystyle{ \forall_x}\) poprzednik implikacji \(\displaystyle{ \mbox{(*)}}\) jest fałszywy

4. otrzymujemy więc, że \(\displaystyle{ \forall_x}\) implikacja \(\displaystyle{ x\mathcal{R}y\,\wedge\,y\mathcal{R}x\ \ x=y}\) jest prawdziwa


Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Przechodniość, przeciwzwrotność i antysymetryczność.

Post autor: Emiel Regis » 28 paź 2007, o 14:56

O własnie, dziekuje bardzo!

ODPOWIEDZ