Przechodniość, symetrycznosc i zwrotność

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Przechodniość, symetrycznosc i zwrotność

Post autor: Emiel Regis » 27 paź 2007, o 13:59

Czy nie jest tak że przechodniosc oraz symetrycznosc relacji implikuje jej zwrotność?

mamy tak:
\(\displaystyle{ xRy \wedge yRz => x R z}\)
ale przecież relacja jest symetryczna to wiemy że \(\displaystyle{ xRy => yRx}\) czyli zamiast z biorąc ponownie x z symetrii oraz przechodniosci otrzymujemy \(\displaystyle{ xRx}\) czyli zwrotnosc.

Bo np pisze się ze aby relacja była czesciowym porzadkiem to musi byc zwrotna, symetryczna i przechodnia. I gdyby mój wniosek był prawdziwy to byłoby to takie mało maślane...

Ale gdzieś błąd popełniam powyżej bo łatwo można znalezc kontryprzyklad że nie ma takiej implikacji. Np:
\(\displaystyle{ xRy x y}\)
No i w/w relacja jest symetryczna i przechodnia a nie jest zwrotna...

Także gdzie jest błąd?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6680
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2594 razy
Pomógł: 684 razy

Przechodniość, symetrycznosc i zwrotność

Post autor: mol_ksiazkowy » 27 paź 2007, o 14:18

:arrow: nop poprawnie rozumujesz, ale jednak....uzyskałes tyle: zakladajac wszak
przechodniosc i symetrię masz ze :arrow:
\(\displaystyle{ xRy => xRx}\)
czyli R bedzie zwrotna o ile dla kazdego x da sie dobrac y
t. ze xRy, ale przeciez tak byc nie musi....

Ale gdzieś błąd popełniam powyżej bo łatwo można znalezc kontryprzyklad że nie ma takiej implikacji. Np:
\(\displaystyle{ xRy x y}\)
No i w/w relacja jest symetryczna i przechodnia a nie jest zwrotna...
ona nie bedzie przechodnia
x=1 y=0 z=1

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Przechodniość, symetrycznosc i zwrotność

Post autor: Emiel Regis » 27 paź 2007, o 14:25

To już się zgadza.
A masz pomysł na jakiś tym razem prawdziwy kontrprzykład?

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6680
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2594 razy
Pomógł: 684 razy

Przechodniość, symetrycznosc i zwrotność

Post autor: mol_ksiazkowy » 27 paź 2007, o 14:32

nop taki moze
X={1, 2, 3}
2R3
3R2
2R2
3R3
a klasa abstrakcji x=1 pusta.
wiec nie ma zwrotnosci

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Przechodniość, symetrycznosc i zwrotność

Post autor: Emiel Regis » 27 paź 2007, o 14:37

No tak, choć tutaj chyba nie można powiedzieć że klasa abstrakcji 1 bo w koncu ta relacja nie jest relacją równoważnosci.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6680
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2594 razy
Pomógł: 684 razy

Przechodniość, symetrycznosc i zwrotność

Post autor: mol_ksiazkowy » 27 paź 2007, o 16:41

tak, masz racje, a dodam ze ogólny kontrprzyklad byłby po prostu taki, ze
majac dowolną relacje równowaznosci R na zb. X mozna dołaczyc do X jakis
nowy element x, i relacja R na takim nowym zbiorze juz nie jest zwrotna.
choc symetria i przechodniosc jest zachowana....

ODPOWIEDZ